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== 指数方程式 ==
≪指数方程式とは≫
指数の部分に未知数が含まれる方程式は指数方程式と呼ばれます．
例　次の方程式はいずれも指数方程式です．
2x=23
3x=81
5−x=25
【指数方程式の解き方１】
a>0, a≠1を満たすものとする．

　方程式の両辺の底が等しいならば
ax=a p → x=p
（解説）
•図1に示されるように，a>1のときy=axのグラフは単調増加（右上がり）になっていいます．
x>p → ax>a p
x<p → ax<a p
したがって，x=pの場合，かつその場合だけ
ax=a p　になります．
ゆえに
ax=a p → x=p
図 1a>1のときのy=axのグラフ
•図2に示されるように，0<a<1のときy=axのグラフは単調減少（右下がり）になっています．
x>p → ax<a p
x<p → ax>a p
したがって，x=pの場合，かつその場合にだけ
ax=a p　になります．
ゆえに
ax=a p → x=p
図 20<a<1のときのy=axのグラフ
※a=1のときはy=1x=1（常に1：定数値をとる関数）となり，通常は指数関数に含めません．
注意!
この方法で指数を外して簡単な方程式に書き換えられるのは，両辺の底が等しい場合だけです．もし，両辺の底が等しくなければ，変形して両辺の底が等しい形に直しておかなければなりません．
例
（底が等しいとき→）2x=2 3 → x=3
（底が等しくないとき→）3x=92 → 3x=34 → x=4

例次の指数方程式を解いてください．
(1)32x=33−x
（解答）
両辺の底は等しいから
2x=3−x
3x=3
x=1
(2)52x−1=125
（解答）
右辺を底5を用いて表すと
52x−1=53
2x−1=3
2x=4
x=2
(3)3x+1=9x−1
（解答）
右辺を底3を用いて表すと
3x+1=(32)x−1
3x+1=32x−2
x+1=2x−2
−x=−3
x=3
(4)93x=27x−1
（解答）
両辺を底3を用いて表すと
(32)3x=(33)x−1
36x=33x−3
6x=3x−3
3x=−3
x=−1
(5)()x=4
（解答）
両辺を底2を用いて表すと
(2)x=22
2=22
=2
x=4
(6)()1−x=9x
（解答）
両辺を底3を用いて表すと
(3−1)1−x=(32)x
3−1+x=32x
−1+x=2x
−x=1
x=−1


【問題 1】次の指数方程式を解いてください．
（正しいものを選んでください．暗算では無理なので，各自の計算用紙を使うとよい．）
(1) 21−x=32

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(2) 3x=3

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(3) 33x=37x−8

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(4) 5x−1=25×5−x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=

(5) 42−x=81−x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(6) 27x=9x+1

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(7) 2x−3=( )x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(8) 94−3x=( )x−3

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(9) ( )x=( )x+1

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=
(10) 2x+1=4( )2x

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=− x=− x= x=

【指数方程式の解き方２】
a>0, a≠1を満たすものとする．
axが何度も現れるとき，ax=XとおいてXについて解きます．このXから，最終的にxを求めます．

図3，図4から分かるように，ax=Xとおくと
•xは任意の実数値をとります．（−∞<x<∞）
•Xは正の実数のみをとります。（X>0）
図3
図4
まず，次のような変形に慣れておきましょう．
例１4x=(22)x=(2x)2だから，2x=Xとおくと
4xはX 2の形で表されます．
例２9x=(32)x=(3x)2だから，3x=Xとおくと
9xはX 2の形で表されます．
例次の方程式をxについて解いてください．
1.4x−2x−12=0
（解答）
2xで表すと
(22)x−2x−12=0
22x−2x−12=0
(2x)2−2x−12=0
2x=X(>0)とおくと …(1)
X 2−X−12=0
左辺を因数分解すると
(X+3)(X−4)=0
X+3=0 または X−4=0
X=−3 または X=4 …(2)
(1)(2)→
X=4
2x=4=22
x=2
2.3×9x+2×3x−1=0
（解答）
3xで表すと
3×(32)x+2×3x−1=0
3×32x+2×3x−1=0
3×(3x)2+2×3x−1=0
3x=X(>0)とおくと …(1)
3X 2+2X−1=0
左辺を因数分解すると
(3X−1)(X+1)=0
3X−1=0 または X+1=0
X= または X=−1 …(2)
(1)(2)→
X=
3x==3−1
x=−1
1.≪解き方のポイント≫
　2x=X(>0)とおくと，図3から分かるようにxは任意の実数値をとります（−∞<x<∞）が，Xは正の実数のみをとります．（X>0）
　そこで，左の(2)のように正負２つの解X=−3, 4が途中経過として得られたとき
•X=−3には対応するxの実数値がありません．
•X=4には対応するxの値があります．
このように，X>0となるXの値だけを選んで元のxを求めることが重要です．（2x=−3に対応するのは虚数解で，高校では扱いません．）

2.≪解き方のポイント≫
　1.と同様にX=−1(<0)には対応するxの実数値がありません．X=(>0)の方から解xを求めます．


※ブラウザとしてSafari, Chrome, Operaなどをお使いの時は，以下の問題を解くときに漢字変換モードを外して半角数字で入力する必要があります．Internet Explorer, Firefoxでは自動的に漢字変換モードが外れます．
【問題2】次の方程式をxについて解いてください．
(1) 9x−4×3x+3=0 (A<B)
x= (A) , (B)
採点するやり直す
(2) 4x−2x+1−8=0
x=
採点するやり直す
(3) 4x+1−17×2x+4=0 (A<B)
x= (A) , (B)
採点するやり直す

(参考1) 次の指数方程式を解いてください．
(参考2) 次の指数方程式を解いてください．

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