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a,b>0, a≠1のとき，任意の底c>0, c≠1に対して
（証明）logab= が成り立つ．
（復習）
logab=x …(A)(b>0, a>0, a≠1)とおくと対数の定義 logay=x ←→ y=ax (y>0, a>0, a≠1) 真数の累乗⇔前に付く係数 logaMn=n logaM …(*) 
b=ax …(B) (B)の両辺に底をcとする対数をとると (c>0, c≠1)
”対数をとる”とは，”対数を取り除くこと”ではなく
logcb=logcaxlogab → b ×
”対数を考えること”を表す．
b → logcb（底はc） ○ ax → logcax（底はc） ○ logcb=x logca ←真数の累乗 logcb=logab · logca ← (A) したがって logab= （式は苦手：図解にしてほしいという人への解説） ○対数logabは，y=で作られる図のような図形の面積比を表す． 
なぜかということは，数学Ⅲで習うので，ここではとりあえず「対数とは面積の比」ということだけを押さえておくとよい．logab= つまり，logabとは，図のAの 面積を基準（分母）としたときの，Bの面積を表す．
※筆者が高１のときに「なーんだ．対数なんて，ただの分数じゃん」と言ったら，当時の先生にカンカンに怒られた．先生としては，b/a ではなく，面積の比だと言いたかったようだ．俺はそう言ったつもりだが･･･
これに対して，図のCの面積を基準として表すと，logca= logcb= だから が成り立つ． |
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例 (1)log23=== (2)log84==
次の計算公式は底が等しい場合に限り成り立つ．
1.logaM+logaN=logaMN
異なる底で表された対数について，上記のような計算を行うには，あらかじめ底が等しい対数に書き換えておかなければならない．
2.logaM−logaN=loga 3.n logaM=loga(M n)=logaM n |
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例次の対数を簡単にせよ．
(1)log23·log32
（解答）log23·log32=log23 =log22=1 （別解） log23·log32= =1
(2)log56·log67·log75
（解答）log56·log67·log75= =1 |
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(3)log84
（解答）log84====
(4)log9
（解答）log9====−2 |
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問題１次の対数を簡単にせよ． （空欄を埋めよ） |
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対数の底と指数の底が等しいとき，次の関係が成り立つ．
指数関数を真数とする対数は，自分自身に等しい．
logaax=x …(I) 指数関数の累乗が対数となっているものは，自分自身に等しい． alogax=x …(II) |
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（証明） I ← logaax=x logaa=x ←(*) II ← logax=logax ←明らか 対数の定義により y=logax → ay=x logax=logax → alogax=x |
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問題２次の対数を簡単にせよ． （空欄を埋めよ） |
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