 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 大区分 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 中区分 *** ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima ※高卒から大学初年度向け「連立方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓表計算オートフィルの使い方 ↓Excelの行列計算(1) 行列の積 ↓未知数がｎ個で逆行列を用いて解く場合 ↓クラメールの公式で解く場合 ↓クラメールの公式［問題］ ↓wxMaximaで解く場合 ↓不能解・不定解が出る場合-現在地 ↓同(固有ベクトル) ↓行基本変形と掃き出し法による場合 ↓同(不定解) ↓連立方程式(まとめ) 2次2次連立形 |
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○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．
同次（斉次）連立一次方程式
A→x=→0…(1) が自明でない解 →x≠→0 をもつための必要条件は det(A)=0
もし，det(A)≠0ならば，逆行列A−1が存在することとなり，(1)に左からA−1を掛けると，
detA−1A→x=A−1→0 したがって →x=→0 となる．すなわち自明解のみをもつ． この対偶をとれば上記の結果を得る  =0を解くとλ det  − + =0λ(λ2−1)−(−λ−1)+(1+λ)=0 λ3+λ+2=0 (λ+1)(λ2−λ+2)=0 λ2−λ+2=0の解は虚数であるから 実数解はλ=−1
正確には，λ=−1のときに，実際に自明でない解をもつことを示さなければならないが，選択問題の解はただ一つであり，これ以外には解はないから，確かめるまでもない
→ 1 |
 の(1)(2)がただ一つの解をもつから（図形的には１点で交わるから），(1)(2)(3)が解をもつためには，(1)(2)の解が(3)を満たせばよい（図形的には(3)が(1)(2)の交点を通ればよい） (1)(2)を解くと x=  k+92, y=9−k4
これが(3)を満たせばよいから
(k+9)−3(9−k4)=3+k
より4x+36−27k+3k=12+4k 3k=3 k=1 → 1 |
 (2)+(3)より 2x+y+3z=2+k…(4) (4)は(1)と平行（な平面）だから，解が存在するためには，これらが一致しなければならない 2+k=1 k=−1 → 2 ≪別解≫ (2)(3)をx, yの方程式として解くと（zで表すと）  x=(2−z), y=(k−2z)−(2−z)=k−z−2 この解が(1)を満たせばいよいから 2(2−z)+(k−z−2)+3z=1 k=−1 |
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方程式ax=bの解は
（ア） a≠0のときは，ただ1つx= baに定まる．
（イ） a=0, b=0のときは，不定（無数に多くの解）（ウ） a=0, b≠0のときは，不能（解は存在しない） ※（ア）において，b=0とb≠0に分ける必要はない．b=0のときは，上記の結果に単純にb=0を代入すれば，x=0が得られる  xを消去すると (2)−(1) (a−1)y+(1−a)z=2…(4) (3)−(1)×a (1−a)y+(1−a2)z=a…(5) (4)+(5)によりyを消去すると (−a2−a+2)z=a+2 (a2+a−2)z=−(a+2) (a+2)(a−1)z=−(a+2)…(6) (6)より （ア） a≠−2, 1のときは，解はただ1つに定まる（zがただ１つに定まると，x,yもただ１つに定まる）⇒題意に適さない （イ） a=−2のときは，無数に多くの解がある（zが不定になると，x,yも不定になる）⇒題意に適する （ウ） a=1のときは，解はない（zが存在しなければ，方程式の解はない）⇒題意に適さない → 1 |
 (3)−(1) y+z=−2…(4) (2)と(4)は（３次元空間の）平行な平面になるから （ア） a≠−2のときは解はない． （イ） a=−2のときは一致し，解は無数にある． （その平面上の点(x,y,z)はすべて解となる） 以上により，解をもつのは（イ）の場合 → 1 |
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方程式ax=bの解は
（ア） a≠0のときは，ただ1つx= baに定まる．
（イ） a=0, b=0のときは，不定（無数に多くの解）（ウ） a=0, b≠0のときは，不能（解は存在しない）  (1)−(3)×2によりzを消去する −x+(1−2a)y=2…(4) (2)+(4)×aによりxを消去する {1+a(1−2a)}y=1+2a (−2a2+a+1)y=(2a+1) (2a2−a−1)y=−(2a+1) (2a+1)(a−1)y=−(2a+1) a=− 12のとき，yは不定→(x,y,z)は無数に存在する
→ 1 |
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平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-16 連立１次方程式  と同値な直線の方程式は，次のどれか．1 x2=y−1−3=z+2
2x2=y−1−3=z+2−13 x2=y−13=z+2−1
4x2=y−12=z+2
5x2=y−1−2=z+2解説  (2)−(1) y=(−3z−5)…(3) (3)を(1)に代入 x=(−z−1)−(−3z−5)=(2z+4)…(4) (3)(4)より，z=tとおいてtによる媒介変数で表すと x=(2t+4), y=(−3t−5), z=(t) x−42=y+5−3=z各辺に2を足すと x2=y−1−3=z+2…(*) → 1
≪参考≫２平面(1)(2)の共有部分が直線(*)の方程式になります． 点A(x0, y0, z0)を通り，方向ベクトル→p=(a, b, c)に平行な直線の方程式は x−x0a=y−y0b=z−z0c
で表されますが，この点A(x0, y0, z0)の選び方は自由で，直線上にある他の点B(x1, y1, z1)でもよい．この点の選び方が上記の答案で「各辺に2を足す」という操作に対応しています．
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 (2)−(1)×2 x−2y+9z=−1…(4) (4)は(3)と平行な平面だから，a=−1のとき（一致するとき）に限り，解がある． → 2 |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[連立方程式について／17.8.2］
先頭の問題ですが、回答方法が正しいのであれば、問題式2行目はＸ－λＹ＋Ｚ＝0ですね？
問題が正しければ、不定解になり③以外はすべて成立します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにｙは入力漏れですので訂正しました． 質問・意見の後半の「問題が正しければ、不定解になり」は変でしょう． 例えば，問題が正しくて，[5] λ=1の場合  は不定解にはならず，x=1,y=−1,z=0という解になります．（自明解ではなく，不定解でもなく，普通の解になる） とりえず，問題は訂正しましたので，その議論は不要になります． |
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が解をもつとき，定数
が解をもつとき，定数
の解が無数に存在するとき，
が解をもつとき，定数
の解が無数に存在するとき，定数
が解をもつとき，