【コンデンサの電気容量】
　それぞれのコンデンサに蓄えられる電気量Q[C]は，電圧V[V]に比例する．このときの比例定数C[F]はコンデンサごとに一定の定数となり，静電容量と呼ばれファラド[F]の単位で表される．
Q=CV
【平行板コンデンサの静電容量】
　平行板コンデンサの静電容量C[F]は，平行板電極の（片方の）面積S[m2]に比例し，板間距離d[m]に反比例する．真空の誘電率をε0とするとき
C=ε0 　極板間を誘電率εの絶縁体で満たしたときは
C=ε 　一般には，誘電率は真空中との誘電率の比（比誘電率）εrを用いて表され，
ε=ε0εr
　特に，空気の誘電率は真空と同じでεr=1.0となる．

図１のように，加える電圧を増加すると，蓄えられた電気量は増加する．

図３において，１つのコンデンサの静電容量を
C=ε とすると，全体では面積が２倍になるから
C’=ε =2Cと静電容量は２倍になる． このとき，もし電圧が変化していなければQ’=2CV=2Qとなり，蓄えられた電荷も２倍になる．

(1)　 図２の左下図において，コンデンサにQ[C]の電荷が蓄えられた状態（一方の極板には+Q[C]の，他方の極板には−Q[C]の電荷がある）で回路から切り離されているとき，これらの電荷は変化しないから，外力を加えて極板間距離を広げると
C=ε により静電容量Cが減少し， Q=CV → V=により，電圧が高くなる．

(2)　図２の左下図において，コンデンサに電源からV[V]の電圧がかかった状態で，外力を加えて極板間距離を広げると
C=ε により静電容量Cが減少し， Q=CVにより，電荷が減少する．

　右図５のように，V[V]の電圧がかかっているところに２つのコンデンサを並列に接続すると，各電極板の電荷は正負の符号のみ異なり大きさは同じになるが，電圧が２つに分けられてそれぞれ半分ずつになるため C=となるのも同様の事情による．
(3)　図２右下のように，コンデンサの極板間に誘電率（誘電率ε［比誘電率εr>1］）の絶縁体を入れると
C=ε0 → C’=ε =ε0εr となって，静電容量が増える．

　もし，コンデンサにQ[C]の電荷が蓄えられた状態（一方の極板には+Q[C]の，他方の極板には−Q[C]の電荷がある）で回路から切り離されているとき，これらの電荷は変化しないから，誘電率ε［比誘電率εr>1］）の絶縁体を入れると， C=ε により静電容量Cが増加し， Q=CV → V=により，電圧が下がる．


　もし，コンデンサに電源からV[V]の電圧がかかった状態で，誘電率ε［比誘電率εr>1］）の絶縁体を入れると， C=ε により静電容量Cが増加し， Q=CVにより，
電荷が増える．

　もし，図６のように半分を空気（誘電率はεr：真空と同じ）で半分を誘電率ε（比誘電率εr>1）の絶縁体で埋めると，それぞれ面積が半分のコンデンサを並列に接続したものと同じになり C’=ε0 +ε0εr =ε0 =C になる．

［問題１］
図のように，面積S[m2]の電極板からなる平行板コンデンサがある。この電極板と平行に同じ形の導体平板を図に示す間隔で入れ，このコンデンサの両端の電極に120[V]の直流電圧を加えて充電した。このとき，図中の電圧V0[V]の値として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，電極板間の誘電体の誘電率は同一とし，充電前の電極及び導体平板の初期電荷は零とする。また，電極板及び導体平板の厚さ並びにこれらの端効果は，無視できるものとする。

(1) 0 (2) 30 (3) 60 (4) 90 (5) 120 HELP

　平行板コンデンサの電極板間においては，電界Eの強さは一定で，電圧Vは電界の向きの距離dに比例する
　したがって，距離が４分の１の２点間には４分の１の電圧がかかる．→30[V]


（別解）
右図のように，２つのコンデンサが直列に接続されているのと同じだから C1=ε …(1) C0=ε …(2) Q=C1V1=C0V0…(3)
(1)(2)を(3)に代入
ε V1=ε V0 → V1=3V0…(4) ここで
V1+V0=120…(5)
だから
4V0=120 → V0=30

［問題２］
真空中において，一辺l[m]の正方形電極を間隔d[m]で配置した平行板コンデンサがある。図１はこのコンデンサの電極板間に比誘電率εr=3の誘電体を挿入した状態，図２は図１の誘電体を電極面積のだけ引き出した状態を示している。図１及び図２の二つのコンデンサの静電容量C1[F]及びC2[F]の比（C1：C1）として，正しいものは次のうちどれか。
ただし，l≫dであり，コンデンサの端効果を無視できるものとする。

(1) 2:1 (2) 3:1 (3) 3:2 (4) 4:3 (5) 5:4 HELP

　極板間を比誘電率εrの誘電体で満たしたときの静電容量は C=ε =ε0εr だから，
　図１においては C1=3ε0 　図２においては， C’=ε0 =ε0 のコンデンサと C”=3ε0 =3ε0 のコンデンサとが 並列に接続されていると見なせるから（並列接続のコンデンサの合成公式C=C’+C”により） C2=ε0 +3ε0 =4ε0 =2ε0 ゆえに
C1:C2=3:2

［問題３］
真空中において，面積S[m2]の電極板を間隔d[m]で配置した平行板コンデンサがある。この電極板と同じ形をした厚さ[m]，比誘電率2の誘電体を図に示す間隔で平行に挿入した。このとき，誘電体を挿入する前と比較してコンデンサの静電容量[F]は何倍になるか。その倍率として最も近いのは次のうちどれか。
ただし，電極板の厚さ並びにコンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) 1.3 (2) 1.5 (3) 2.0 (4) 2.5 (5) 3.0 HELP

　はじめの静電容量は C=ε0 　誘電体を挿入してから後では，厚さ[m]の空気，厚さ[m]，比誘電率2の誘電体，厚さ[m]の空気からなるコンデンサが直列に接続されているのと同じことになる．
　静電容量C1，C2，C3のコンデンサを直列に接続したときの合成容量をCとおくと =++ が成り立つ．
　ここで C1=ε0 ，C2=2ε0 ，C3=ε0 を代入すると =++= C= よって，倍率は=1.33...

【誘電体と電界の強さ】
　誘電率εの誘電体において，+Q[C]の電荷からは 本の電気力線が出ている． 　面積がS[m2]の平行板コンデンサの陽極と陰極にそれぞれ+Q[C]，−Q[C]の電荷があるときは，電界の強さは E= になる．

［問題４］
電極板の間隔がd0[m]，電極板面積が十分に広い平行板空気コンデンサがある。このコンデンサの電極板間にこれと同形，同面積の厚さd1[m]，比誘電率εrの誘電体を図のように挿入した。いま，このコンデンサの電極A，Bに+Q[C]，−Q[C]の電荷を与えた。次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし，コンデンサの初期電荷は零とし，端効果は無視できるものとする。また，空気の比誘電率は1とする。

(a)　空げきの電界E1[V/m]と誘電体中の電界E2[V/m]の
比を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
(1) εr (2) (3)
(4) (5) HELP


(b)　電極板の間隔d0=1.0×10−3[m]，誘電体の厚さd1=0.2×10−3[m]及び誘電体の比誘電率εr=5.0としたとき，空げきの電界E1=7×104[V/m]であった。コンデンサの充電電圧V[V]の値として，正しいのは次のうちどれか。 (1) 100.8 (2) 70.0 (3) 67.2 (4) 58.8 (5) 56.7 HELP

E1=，E2=だから =εr

V=(d0−d1)E1+d1E2
=0.8×10−3×7×104+0.2×10−3×7/5×104
=56+2.8=58.8

［問題５］
極板A-B間が誘電率ε0[F/m]の空気で見たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長をd[m]，静電容量をC0[F]とし，極板間の直流電圧をV0[V]とする。極板と同じ形状と面積を持ち，厚さが[m]，誘電率ε1[F/m]の固体誘電体（ε1>ε0）を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入すると，コンデンサ内の電位分布は変化し，静電容量はC1[F]に変化した。このとき，誤っているものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし，空気の誘電率をε0，コンデンサの端効果は無視できるものとし，直流電圧V0[V]は一定とする。

(1)位置Pの電位は，固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。

(2)位置Qの電位は，固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。

(3)静電容量C1[F]は，C0[F]よりも大きくなる。

(4)固体誘電体を導体に変えた場合，位置Pの電位は固体誘電体又は導体挿入する前よりも上昇する。

(5)固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量C2[F]は，C0[F]よりも大きくなる。

HELP

(3)(5)：静電容量について
　固体誘電体を挿入したときのA-P間，P-Q間，Q-B間の静電容量を各々Cx，Cy，Czとおくと，
　C0は右図のようにCx，Cx，Czが直列に接続されているのと同じになるから
=++
　C1は右図のようにCx，Cy，Czが直列に接続されているのと同じになるから
=++
　C2は右図のようにCx，Czが直列に接続されているのと同じになるから
=+0+
　ここで，極板間を誘電率ε（比誘電率εr (εr>1)）の誘電体で満たしたときは
C=ε =ε0εr の公式により
Cy=ε0εr >ε0 =Cx よって
0<<
したがって
<<
C0<C1<C2
→(3)(5)はいずれも真

(1)(2)(4)：電位について 　Aの電位はV0[V]，Bの電位は0[V]である． 　次に，一様な電界E[V/m]においては電位差V[V]は距離d[m]に比例し
V=Ed
が成り立つ（上図において傾き［の絶対値］は電界の強さ）
○　C0の場合は，図の黒線で示したようにA-P間，P-Q間の電位差が等しくなる．
VAP=VPQ=Ed
○　これに対して，C1の場合，直列接続のコンデンサの各電気量Q’が等しい（C0と比較すると全体の静電容量が変化するので，このQ’は上記のQとは等しくない）のに対して， E= により，電界の強さは誘電率εに反比例する（したがって，比誘電率εrに反比例する：ε=ε0εr）から，
VAP=EAPd=d VPQ=EPQd=d において，εr>1だから，A-P間の電位差よりも，P-Q間の電位差が小さくなる．（図の緑線）
○　さらに，C2の場合には，P-Q間の電位差は0になる．（図の赤線）

　以上から，Pの電位，緑●は黒●よりも低い：(1)は真
　Qの電位，緑●は黒●よりも高い：(2)は真
　Pの電位，赤●は黒●よりも低い：(4)は偽

［問題６］
図に示すように，電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の２種類の平行平板コンデンサがあり，一方を空気コンデンサＡ，他方を固体誘電体（比誘電率εr=4）が満たされたコンデンサＢとする。両コンデンサにおいて，それぞれ一方の電極に直流電圧V[V]を加え，他方の電極を接地したとき，コンデンサＢの内部電界[V/m]及び電極板上に蓄えられた電荷[C]はコンデンサＡのそれぞれ何倍になるか。その倍率として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし，空気の比誘電率を1とし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。
HELP

○　平行板コンデンサ内部のように電界の強さが一定の場合には，電位差V[V]，電界の強さE[V/m]，距離d[m]は次の関係を満たす．
E= 　コンデンサＡとＢとは，電極板間の電位差V及び電極板間隔dが等しいから，電界の強さEも等しい．
　よって，内部電界は1倍

○　誘電率ε（比誘電率ε0εr）の誘電体で満たされた平行板コンデンサの静電容量は
C=ε=ε0εr で求まり，電極板に蓄えられる電荷は
Q=CV
で求まるから，
QA=ε0 V QB=ε0×4× V=4QA 　よって，電荷は4倍

【電束と電界の強さ】
　電界の様子を考えるときに，1[C]の電荷から1[本]出ている線を考え電束という．+Q[C]の電荷からはQ[本]の電束が出て，−Q[C]の電荷に入る．

　電束は理論上のものであるが，電荷に作用する力の元となる電気力線は誘電率の影響を受ける．
　右図11に示すように，誘電体の中では分極が起るので，誘電率ε（比誘電率εrで表せばε=ε0εr）が大きいほど電気力線の数が少なくなり電界は弱くなる．
　単位面積当たりの電束を電束密度といいDで表す．
D=
　単位面積当たりの電気力線の数が電界の強さEになる．
E=

［問題７］
図に示すように，誘電率ε0[F/m]の真空中に置かれた静止した二つの電荷A[C]及びB[C]があり，図中にその周囲の電気力線が描かれている。電荷A=16ε0[C]であるとき，電荷B[C]の値として，正しいのは次のうちどれか。
(1) 16ε0 (2) 8ε0 (3) −4ε0 (4) −8ε0 (5) −16ε0 HELP

※電束の本数は電荷の量と一致するが，電気力線の本数はそれを誘電率で割ったものになる． により，真空中（誘電率ε0）においてA=16ε0[C]から， =16[本] の電気力線が出ているのを確かめることができる．

次に により，8[本]の電気力線が入っている電荷Bは−8ε0[C]になる．

［問題８］

HELP

次の基本公式に当てはめる．
（ア）　電界の強さは電圧と間隔とで決まり，誘電率には影響されない E=
→ E1=E2=
（イ）　電界の強さは電束密度を誘電率で割ったもの（電束密度＝電界の強さ×誘電率） E= ⇔ D=εE=ε0εrE
→ D1=ε0εr1E1=ε0εr1
→ D2=ε0εr2E2=ε0εr2
（ウ）　電荷の量は電束の本数に等しい（電束密度×面積）
Q=DS
→ Q1=D1S=ε0εr1S
→ Q2=D2S=ε0εr2S
　または，
Q=CV
→ C1=ε0εr1 だから Q1=ε0εr1V0
→ C2=ε0εr2 だから Q2=ε0εr2V0

.