Rによる関数グラフの作成

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《体験・入門レベル》
== Rによるグラフの表示 ==
R version 4.0.3, 4.0.4Patched
----- 最終更新年月日:2021.4.04

この教材は，体験・入門のレベルで，30分から1時間ほどで「そこそこ分かる」ことを目指す．

関数のグラフ

具体例からスタート

(1)　Rのコンソール画面で，次のように入力すると，y=sinxのグラフが表示される．

curve(sin)

• Rに組み込まれている関数は，curve( )の中に関数名を書く［sinなど］かxを変数として関数を書けば［sin(x)など］，その関数の概形が表示される．
• この例のように，区間を省略すれば0.0≦x≦1.0の区間で関数が表示される．

(2)　第2引数，第3引数として数値を記入すれば，各々グラフを表示する区間の下端と上端を表す．

curve(sin(2*x), 0, pi)

• 正弦関数を省略せずに書くときはsin(x)と書く．sin2xはsin(2*x)と言う形で定数との積で書く
• 円周率は記号定数piで表す．この他，自然対数の底［ネイピア数］を表す記号定数はないので，指数関数を使ってexp(1)とすればよい．

　from= , to= という名前付きタグによって区間の下端と上端を表す場合は，第2第3引数以外の場所に記入してもよい．

curve(cos(x/2),to=pi,from=-pi)

関数の例：一覧

　関数は，xの関数として書かなければならない．ただし，変数名そのものの「x」だけというものは受け付けられないが，「1*x」や「x+0」はよい．

1　多項式，分数式

(1.1)　１次関数	書き方（区間は例）
$y=x$	curve(1*x, -1, 1)

-- グラフ1.1 --

(1.2)　１次関数	書き方（区間は例）
$y=-\frac{1}{2}x+ 1$	curve(-1/2*x+1, from=-1, to=2)

-- グラフ1.2 --

(1.3)　2次関数	書き方（区間は例）
$y=x^2-4x+ 3$	curve(x^2-4*x+3,0,5,col="#0000ff")

-- グラフ(1.3) --

col="#0000ff"により，線の色を青に指定

(1.4)　3次関数	書き方（区間は例）
$y=x^2-4x+ 3$	curve((x+1)(x-1)(x-2),-2,3,col="red")

-- グラフ(1.4) --

col="red"により，線の色を赤に指定

(1.5)　分数関数	書き方（区間は例）
$y=x^2-4x+ 3$	curve(1/((x-1)*(x-2)), 0,3, ylim=c(-10, 10))

-- グラフ(1.5) --

　そのまま表示するとy方向は極端に大きな値が表示される．
　ylim=c(下端, 上端)により，y座標のうちで表示する範囲を指定できる
　なお，縦線は漸近線ではなく，−∞から∞を結んでしまった「失敗の線」

2　無理関数

(2.1)　無理関数	書き方（区間は例）
$y=\sqrt{x}$	curve(sqrt(x), 0, 4)

-- グラフ2.1 --

• curve(x^(1/2), 0, 4)でも同じグラフが描ける．
• x<0のときこの関数は定義されないが，描画区間として負のx座標を指定した場合
curve(sqrt(x), −1, 1)⇒警告付きだがグラフは表示される
curve(x^(1/2), −1, 1)⇒警告なしでグラフが表示される
いずれもx≧0の区間においてのみグラフがある

*** 読み物 ***
　高校数学Ⅱでは，累乗根について，次のように教える．
　 $a$ は実数， $n$ は正の整数とするとき， $x^n=a$ となる実数 $x$ を $a$ の $n$ 乗根という．

(ⅰ)　 $n$ が奇数のとき
$x^n=a\leftrightarrow x=\sqrt[n]{a}$
【例1】 $2^3=8\leftrightarrow 2=\sqrt[3]{8}$
$(-2)^3=-8\leftrightarrow -2=\sqrt[3]{-8}$

(ⅱ)　 $n$ が偶数のとき
$a\gt 0$ のとき， $a$ の $n$ 乗根は正負の２つ存在する.
$x^n=a\leftrightarrow x=\pm\sqrt[n]{a}$
【例2】 $3^4=81\leftrightarrow 3=\sqrt[4]{81}$
$(-3)^4=81\leftrightarrow -3=-\sqrt[4]{81}$

（ⅲ） $a\gt 0$ ， $m,\hspace{2}$ は正の整数とするとき，
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$
が成り立つ．また，このとき
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
が成り立つ．

　以上が，高校数学Ⅱの教科書に書かれている公式見解であるが，逆に言えば次のことは何も書かれていない･･･つまり，何も決まっていないのだから．各コンピュータ･ソフトなどが，別の解釈をしていても，どれかが正しくて，どれかが間違っているということではない（と,この教材の筆者は考える）．
【例A】
$\sqrt[3]{-1}$ について

• ①高校数学Ⅱの教科書の立場では， $\sqrt[3]{-1}=-1$ になる．この結果は，②Maxima, ③Excelにおいて(-1)^(1/3)と入力したときの結果と一致する．
• ④Pythonでは累乗の記号は**となっており，(-1)**(1/3)と入力したときの結果は，［実際には小数表示であるが］ $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ になる．高校数学Ⅱの累乗根は，実数の範囲で結果を求めているのに対して，Pythonでは複素数の範囲で求めて，ド・モアブルの定理を使って，正の最小偏角を持つ原始ｎ乗根 $\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}i$ を解としている．
• ⑤Ｒでは，nが偶数であろうが奇数であろうが $a\lt 0$ のときの $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ の値は,問答無用で定義されない･･･統計では，使わないということかも．

【例B】
$(-1)^{\frac{2}{6}}$ について

	maxima	Excel	数Ⅱ
$(-1)^{\frac{2}{6}}$	−1	−1	*定義されない
$((-1)^{\frac{1}{6}})^2$	−1	定義されない	定義されない
$((-1)^2)^{\frac{1}{6}}$	1	1	1
$(-1)^{\frac{1}{3}}$	−1	−1	−1

*定義されないの箇所について：
　筆者は，少なくとも30年間，高校でこの問題は教えていない．教科書的にも，
$a\gt 0$ ならば， $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ は言えるが，
$a\lt 0$ のとき， $\sqrt[n]{a}$ の話はあるが， $a^{\frac{m}{n}}$ は決まっていない．さらに， $a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{6}}$ などは全然言えない．
• ④Python: $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$
• ⑤Ｒ:定義されない

【例C】
$(-1)^{0.4}$ について

	maxima	Excel	数Ⅱ
$(-1)^{0.4}$	条件付 1	定義されない	定義されない
$(-1)^{\frac{4}{10}}$	1	定義されない	定義されない
$(-1)^{\frac{2}{5}}$	1	定義されない	定義されない
$((-1)^2)^{\frac{1}{5}}$	1	1	1
$((-1)^{\frac{1}{5}})^2$	1	1	1

以上から，予想される各ソフトの傾向（筆者の予想）
• 各ソフトにおいて， $\sqrt[n]{a^m}$ という演算はないから， $a^{m/n}$ で代用する．
• $a\lt 0$ のとき $a^{m/n}$ の結果は
②Maxima：小数の場合も，分数の場合も，分数を約分した結果で答える． $a^{0.4}\rightarrow a^{\frac{2}{5}}$
③Excel：指数が小数の場合は定義されない．指数の分子が1でない分数の場合も定義されない．指数の分子が1の分数の場合は，数学Ⅱの定義と一致する．

　Excelのワークシート関数は，高校数学Ⅱで教えることにかなり忠実に一致する．
　決まっていないことには，不用意に答えない．

④Python：実数の累乗根が定まる場合でも，解を複素数の範囲で求め，ド・モアブルの定理を使って，正の最小偏角を持つ原始ｎ乗根を返す．
⑤Ｒ：負の数に対する累乗根は，すべて定義されないものとする．

3　指数関数

(3.1)　指数関数	書き方（区間は例）
$y=e^{2x}$	curve(exp(2*x), -1, 1)

--グラフ(3.1)-- ※自然対数の底（ネイピア数 $e=2.718281828459...$ ）は記号定数にされていないが，exp(1)が使える．

(3.2) 関数 $y=e^{-0.5x}$ 　curve(exp(-0.5*x))

curve(exp(-0.5*x), from=-2, to=2, col="#ff0000",
    xlim=c(-2,2),ylim=c(-1,3))
par(new=T)
lines(c(-2,2),c(0,0),lty="dotted",col="gray")
par(new=T)
lines(c(0,0),c(-1,3),lty="dotted",col="gray")

--グラフ(3.2)--

• 線の太さは
　lwd=1,2,3,･･･
などで指定できる（大きいほど太くなる）
• 線種（line-style）は
　lty=番号またはlty="solid"
の形で指定できる．

lty=1 または lty="solid" （実線）
lty=2 または　lty="dashed"　(ダッシュ)
lty=3 または lty="dotted"（鎖線ドット）
･･･
lty=6 または lty="twodash"（２点鎖線）

4　対数関数

(4.1) 対数関数

curve(log(x),xlim=c(0,3),ylim=c(-5,2),n=500) #･･･(1)
par(new =T)                                  #･･･(2)
curve(log10(x),col="#009900",xlim=c(0,3),
     ylim=c(-5,2),n=500)  #･･･(3)
par(new =T)
curve(log2(x),col="red",xlim=c(0,3),
     ylim=c(-5,2),n=500) #･･･(4)
par(new =T)
curve(log(x,base=10)+0.1,col="#009900",xlim=c(0,3),
     ylim=c(-5,2),n=500)  #･･･(5)
par(new =T)
curve(log(x, 2)+0.1,col="red",xlim=c(0,3),
     ylim=c(-5,2),n=500)   #･･･(6)

(1) 対数関数のグラフは，curve(log(x, base=...))の形で書かれる．base=で底を示すが，これが省略された場合は，base=exp(1)すなわち自然対数の底（ネイピア数 $e=2.718281828459...$ ）が底となる．
(2) この例のように，２つ以上のグラフを上書きするときは，後から描くグラフの前にpar(new=T)を付ける.
　また，グラフを重ねて描くためには，x座標の値の範囲xlim=c(left,right)およびy座標の値の範囲ylim=c(bottom,top)を各グラフで共通にしておく必要がある．
(3) 底が10の対数は，log10(x)と書くか，または，(5)のように log(x, base=10)と書く．(3)(5)は同じグラフになり，完全に重なるため見えなくなるので，(5)の方のy座標を+0.1だけ上げてある．
(4)(6) 底が2の対数は，log2(x)と書くか，または，log(x, base=2)と書く．(6)の方はのy座標を+0.1だけ上げてある．

※ n=という名前タグ付き引数は，「与えられた区間を何個のx座標に区切って表すか」を示す=実際には，関数のグラフは「微細な区間に区切った折れ線」で表されており，「何等分して表示するか」ということをこのn=という引数が示す．区間と点の数は「植木算」の関係にあるから，区間がm個なら点はm+1個になる．n=という点の数が省略された場合はn=101すなわち100等分した点を結んで折れ線が作られることになる．
　このグラフのように，x≒0のとき「グラフが急傾斜になる場合」，デフォルト設定のn=101では，うまく曲線が描けないので，n=500に増やした．

5　三角関数

(5.1)　三角関数	書き方（区間は例）
$y=\sin(3x-\frac{\pi}{2})$	curve(sin(3x-pi/2), 0, 2pi)

• 単に sin と書けば，sin(x)の省略形と解される．
• $\sin(3x)$ はsin(3*x)， $\sin(3x-\frac{\pi}{2})$ は
sin(3*x-pi/2)と書く．

(5.2)　 $y=e^x\cos 4x$ のグラフ（黒色）とその振幅を表す関数 $y=e^x$ および $y=-e^x$ を重ねて表示する．

curve(exp(x)*cos(4*x), -pi/2, pi/2,
    xlim=c(-pi/2,pi/2),ylim=c(-5,5))
par(new=T)
curve(exp(x),-pi/2,pi/2, col="blue",
    xlim=c(-pi/2,pi/2),ylim=c(-5,5))
par(new=T)
curve(-exp(x),-pi/2,pi/2, col="red",
    xlim=c(-pi/2,pi/2),ylim=c(-5,5))

6　逆三角関数

【逆三角関数とは】
[1]　 $y=\sin x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$ のグラフは，次の図の内で黒色の部分になる．

　この関数の逆向きの対応は
$x=\sin y\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}y\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$
になるが，これを $y$ について解きなおした関数を次の形で書き，逆三角関数という．
$y=\arcsin x$ または $y=\sin^{-1}x$ または $y=\rm{asin}x$
$(-1\underline{\le}x\underline{\le}1,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\underline{\le}y\underline{\le}\frac{\pi}{2})$
　（上の図の赤線の部分になる）
　Rでは asin(x)を使う．
[2][3] 同様にしてy=cos(x), y=tan(x)に対応する逆三角関数を，acos(x), atan(x)で表す．

(6.1)

curve(acos(x), 1, -1, xlim=c(-1,1),
ylim=c(-1,pi))
par(new=T)
lines(c(-1,1),c(0,0),col="blue", xlim=c(-1,1),
ylim=c(-1,pi))
par(new=T)
lines(c(0,0),c(-1,pi),col="red", xlim=c(-1,1),
ylim=c(-1,pi))

• 黒色は
$y=\rm{acos}x$
$(-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$
$(0\underline{\le}y\underline{\le}\pi)$
のグラフ
• 青はx軸，赤はｙ軸

7　双曲線関数

【双曲線関数とは】
　指数関数を使って次のように定義される関数を双曲線関数という．
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ …(1)
$\cosh x=\frac{e^x+ e^{-x}}{2}$ …(2)
$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+ e^{-x}}$ …(3)

(7.1)

curve(sinh(x), -3,3,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),
    col="red")
par(new=T)
curve(cosh(x), -3,3,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),
    col="blue")
par(new=T)
curve(tanh(x), -3,3,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),
    col="green")
par(new=T)
lines(c(-3,3),c(0,0),col="gray")
par(new=T)
lines(c(0,0),c(-3,3),col="gray")

• 赤は $y=\sinh x$ のグラフ
• 青は $y=\cosh x$ のグラフ
• 緑は $y=\tanh x$ のグラフ
• 灰色は座標軸

8　逆双曲線関数

【逆双曲線関数とは】
　 $x=\sinh y$ をyについて解いた関数を $y=\rm{asinh}\hspace{1}x$ で表す． $y=\rm{acosh}\hspace{1}x,\hspace{2}y=\rm{atanh}\hspace{1}x$ も同様

　逆双曲線関数については，次の関係が成り立つ．
$\rm{asinh}\hspace{1}x=\log(x+\sqrt{x^2+ 1})$ ･･･①
$\rm{acosh}\hspace{1}x=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ ･･･②
（ただし第１象限だけ）
$\rm{atanh}\hspace{1}x=\frac{1}{2}\log(\frac{1+ x}{1-x})$ ･･･③
　これらを確かめるために，左辺の関数のグラフ，右辺の関数のグラフを別々に描いた．ただし，完全に重なると見えなくなるから，y方向に+0.05だけ移動した
(8.1)

curve(asinh(x), -2,2,xlim=c(-2,2),
    ylim=c(-2,2),col="red")
par(new=T)
curve(acosh(x), -2,2,xlim=c(-2,2),
    ylim=c(-2,2),col="blue")
par(new=T)
curve(atanh(x), -2,2,xlim=c(-2,2),
    ylim=c(-2,2),col="darkgreen")
par(new=T)
curve(log(x+sqrt(x^2+1))+0.05, -2,2,
    xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),col="red")
par(new=T)
curve(log(x+sqrt(x^2-1))+0.05, -2,2,
    xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),col="blue")
par(new=T)
curve(1/2*log((1+x)/(1-x))+0.05, -2,2,
    xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),col="darkgreen")
par(new=T)
lines(c(-2,2),c(0,0),col="gray")
par(new=T)
lines(c(0,0),c(-2,2),col="gray")

• 赤は $y=\sinh x$ および $y=\log(x+\sqrt{x^2+ 1})$ のグラフ
• 青は $y=\cosh x$ および $y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ のグラフ
（ただし第１象限だけ）
• 緑は $y=\tanh x$ および $y=\frac{1}{2}\log(\frac{1+ x}{1-x})$ のグラフ
• 灰色は座標軸

9　正規分布関数

(9.1)
正規分布の確率密度関数 dnorm
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE),xlim=c(-3,3))

(9.2)
正規分布の累積密度関数 pnorm
curve(pnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE),xlim=c(-3,3))

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