maximaの初歩的な操作6･･･行列計算,固有値,固有ベクトル

== maximaの初歩的な操作6 ==
･･･行列計算,固有値,固有ベクトル･･･
○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○行列に名前を付けて，値を代入するには
２×２行列
$A=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right)$
の場合
A : matrix([1,2],[3,4]);
などとします．

３×３行列
$B=\left( \begin{array} 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1\end{array} \right)$
の場合
B : matrix([1,0,1],[0,-1,0],[2,1,-1]);
などとします．（特に大文字を用いる必要はない．）

○行列の和・差・定数倍，積を求めるには
$x=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right),y=\left( \begin{array} 1 & -1\\ -2 & 3 \end{array} \right)$
のように同じ型の行列については，対応する要素の和・差・定数倍からなる行列を求めることができます．
x+y;
と入力すれば，
$\left( \begin{array} 2 & 1\\ 1 & 7 \end{array} \right)$
のように出力されます．wxMaximaの方は見た目の通りですが，Xmaxiamの方はテキストアートのように描かれ，中間に１行分余計に［　　　］のような行が入ります．

x−y;
と入力すれば，
$\left( \begin{array} 0 & 3\\ 5 & 1 \end{array} \right)$
のように出力されます．

3*x;
と入力すれば，行列xの各成分に3を掛けたもの
$3x=\left( \begin{array} 3 & 6\\ 9 & 12 \end{array} \right)$
が出力されます．

行列の積
$xy=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right)\left( \begin{array} 1 & -1\\ -2 & 3 \end{array} \right)=\left( \begin{array} -3& 5\\ -5 & 9 \end{array} \right)$
は
x . y;
のようにピリオド（もしくはドット）を使って表します．

○行列の累乗を求めるには
$x^2=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right)^2=\left( \begin{array} 7& 10\\ 15 & 22 \end{array} \right)$
は
x ^^ 2;
のようにカレット２つを使って表します．
（カレット１つは，「各成分の累乗」となるので注意）
x ^ 2; → $\left( \begin{array} 1 & 4\\ 9 & 19 \end{array} \right)$

【行列式の値，逆行列を求めるには】

(1)　正方行列の行列式を求めるには
(2)　正方行列の逆行列を求めるには

○Xmaxima，wxMaximaいずれも次のようになります．

	入力	結果（出力）
(1)	例えば $A=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right)$ の行列式の値を求めるには Aの定義式を入力A:matrix([1,2],[3,4]); 行列式を求めるdeterminant(A);	−2
(2)	例えば $A=\left( \begin{array} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right)$ の逆行列を求めるには Aの定義式を入力A:matrix([1,2],[3,4]); invert(A); または累乗表示でA^^(-1)	$\left( \begin{array} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)$ wxMaximaの方は見た目の通りですが，Xmaxiamの方はテキストアートのように描かれ，中間に１行分余計に［　　　］のような行が入ります．

【正方行列の固有値と固有ベクトルを求めるには】

(1)　 $A=\left( \begin{array} 5 & -1\\ 6 & -2 \end{array} \right)$ の固有値を求めるには
(2)　 $A=\left( \begin{array} 5 & -1\\ 6 & -2 \end{array} \right)$ の固有ベクトルを求めるには

○Xmaxima，wxMaximaいずれも次のようになります．
(1)　ここまでの作業で，まだ行列Aの定義式を入力していない場合は，入力します．
A : matrix([5,-1],[6,-2]);
　次に，固有値を求めるには，
eigenvalues(A); ← eigenvalues であることに注意
　結果は次のようになりますが，これは［固有値，固有値］，［重複度，重複度］の順に並んでいます．
[[4, - 1], [1, 1]]
　これは，固有値λ1=4が重複度1，固有値λ2=−1が重複度1，合計２個の固有値があることを示しています．

(2)　すでに行列Aが定義されている場合には，
eigenvectors(A); ← eigenvectors であることに注意
　結果は次のようになります．
[[　 [4, - 1], [1, 1] 　], [　[ [1, 1] ], [ [1, 6] ]　]]
　これは

[[[固有値1,固有値2],
[重複度1,重複度2]],
[[[固有ベクトル1 x成分,固有ベクトル1 y成分]],
[[固有ベクトル2 x成分,固有ベクトル2 y成分]]]]

の順に並んでいます．

固有ベクトルの定数倍はすべて固有ベクトルになるので，たとえば１つの固有ベクトルが $\left( \begin{array} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ であるとき任意の定数 $\alpha(\ne 0)$ について $\alpha\left( \begin{array} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ も固有ベクトルとなる．したがって，一般に，固有ベクトルは任意定数倍を除いて定まる．

すなわち，固有値λ1=4（重複度1）の固有ベクトルは $\alpha\left( \begin{array} 1 \\ 1 \end{array} \right)$
固有値λ2=−1（重複度1）の固有ベクトルは $\beta\left( \begin{array} 1 \\ 6 \end{array} \right)$

≪その他，固有値・固有ベクトルの例≫

番号	行列	固有値	固有ベクトル（固有値の順に対応）
(1)	$\left( \begin{array} 8 & 1 \\ 4 & 5 \end{array} \right)$	4 ,9	$\alpha\left( \begin{array} 1 \\ -4 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} 1 \\ 1 \end{array} \right)$
(2)	$\left( \begin{array} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right)$	−1 ,4	$\alpha\left( \begin{array} 1 \\ -1 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
(3)	$\left( \begin{array} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$	$\sqrt{2},-\sqrt{2}$	$\alpha\left( \begin{array} \sqrt{2} \\ 1 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} -\sqrt{2} \\ 1 \end{array} \right)$
(4)	$\left( \begin{array} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)$	1 , 2 , 3	$\alpha\left( \begin{array} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right),\gamma\left( \begin{array} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right)$
(5)	$\left( \begin{array} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right)$	2 , −1 , 1	$\alpha\left( \begin{array} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} 1 \\ 1 \\ -1\end{array} \right),\gamma\left( \begin{array} -1 \\ 1 \\ -3\end{array} \right)$
(6)	$\left( \begin{array} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -4 & 4 & 1 \end{array} \right)$	1 , 2, −2	$\alpha\left( \begin{array} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right),\beta\left( \begin{array} 1 \\ 2 \\ 4\end{array} \right),\gamma\left( \begin{array} 1 \\ -2 \\ 4\end{array} \right)$

【正方行列を対角化するためには】

(1)　 $A=\left( \begin{array} -4 & 15\\ -2 & 7 \end{array} \right)$ の固有値，固有ベクトルを求めて対角化するには
(2)　 $B=\left( \begin{array} 3 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 2 & -4 & 6\end{array} \right)$ の固有値，固有ベクトルを求めて対角化するには

≪対角化とは≫
２次の正方行列 $A=\left( \begin{array} a & b\\ c & d \end{array} \right)$ が異なる２つの固有値α, β
及びそれらに対応する固有ベクトル $\left( \begin{array} p_1 \\ p_2 \end{array} \right),\left( \begin{array} q_1 \\ q_2 \end{array} \right)$ をもつとき
$\left( \begin{array} a & b\\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array} p_1 \\ p_2 \end{array} \right)=\alpha\left( \begin{array} p_1 \\ p_2 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array} a & b\\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array} q_1 \\ q_2 \end{array} \right)=\beta\left( \begin{array} q_1 \\ q_2 \end{array} \right)$
が成り立つ．したがって
$\left( \begin{array} a & b\\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{array} \right)$ $=\left( \begin{array} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{array} \right)\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$
そこで，固有ベクトルを固有値に対応する順に２つ束ねた行列を
$P=\left( \begin{array} p_1 & q_1\\ p_2 & q_2 \end{array} \right)$
と置くと
$AP=P\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$
が成り立つ．
もし $P$ に逆行列が存在すれば（⇔det(A)≠0）
$P^{-1}AP=\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$ …(I)
もしくは
$A=P\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)P^{-1}$ …(II)

(I)もしくは(II)の形は行列のｎ乗を求める上で重宝される．すなわち，一般の行列のｎ乗を求めるには複雑な成分計算を要するのに対して，対角行列のｎ乗は各成分のｎ乗だけで求められるので $\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)^n=\left( \begin{array} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{array} \right)$
他方で, $P^{-1}AP$ の形の行列は
$P^{-1}AP\cdot P^{-1}AP=P^{-1}A^2P$
$P^{-1}AP\cdot P^{-1}AP\cdot P^{-1}AP=P^{-1}A^3P$
$P^{-1}AP\cdots P^{-1}AP=P^{-1}A^nP$
となるから
(I)→
$P^{-1}A^nP=\left( \begin{array} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{array} \right)$
$A^n=P\left( \begin{array} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{array} \right)P^{-1}$
となって， $A^n$ が求められる．（(II)から変形しても同様）

　「行列を対角化せよ」という問題に対しては，このように（固有値と固有ベクトルは対応する順に並べるものとして）

固有ベクトルを束にした行列 $P$
固有値を対角成分に並べた行列 $\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$
を示して
$P^{-1}AP=\left( \begin{array} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$ …(I)
の形で示せばよい．(II)でも内容は同じ．

３次の正方行列の場合は，異なる３つの固有値があれば同様にして求められる．

○Xmaximaでは次のように求められます．（wxMaximaでは［代数］→［手入力による行列生成］など対話型メニューからでもできます）

(1)　行列Aの定義式を入力します．
A : matrix([-4,15],[-2,7]);
Aの固有ベクトルを求めます．
eigenvectors(A);
次の結果が得られます．
$[[[1, 2], [1, 1]], [[[1, \frac{1}{3}]], [[1, \frac{2}{5}]]]]$
これは，順に次のことを表している．

[[[固有値α, 固有値β], [αの重複度, βの重複度]],
[[[αに対する固有ベクトルのx成分, αに対する固有ベクトルのy成分]],
[[βに対する固有ベクトルのx成分, βに対する固有ベクトルのy成分]]]]

固有ベクトルは定数倍を問わないから，次の形で整数成分にしてもよい．
$\left( \begin{array} p_1 \\ p_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array} 3 \\ 1 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array} q_1 \\ q_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array} 5 \\ 2 \end{array} \right)$
$P=\left( \begin{array} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$ ， $P^{-1}=\left( \begin{array} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right)$
これにより
$P^{-1}AP=\left( \begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$ …（答）

(2)　行列Bの定義式を入力します．
B : matrix([3,-2,2],[2,-3,5],[2,-4,6]);
Aの固有ベクトルを求めます．
eigenvectors(B);
次の結果が得られます．
$[[[1, 2, 3], [1, 1, 1]], [[[1, 3, 2]], [[0, 1, 1]], [[1, 2, 2]]]]$
これは，順に次のことを表している．

[[[固有値α, 固有値β, 固有値γ],
[αの重複度, βの重複度, γの重複度]],
[[[αに対する固有ベクトルのx成分, 同y成分, 同z成分]],
[[βに対する固有ベクトルのx成分, 同y成分, 同z成分]],
[[γに対する固有ベクトルのx成分, 同y成分, 同z成分]]]]

固有ベクトルは
$\left( \begin{array} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right)$ ， $\left( \begin{array} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ ， $\left( \begin{array} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)$
$P=\left( \begin{array} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right)$ ， $P^{-1}=\left( \begin{array} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$
これにより
$P^{-1}AP=\left( \begin{array} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)$ …（答）

≪類似問題とその結果≫

番号	行列A	行列P	行列P−1	対角行列P−1AP
(1)	$\left( \begin{array} 14 & -20 \\ 6 & -8 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} -1 & 2 \\ \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right)$
(2)	$\left( \begin{array} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$
(3)	$\left( \begin{array} -5 & 6 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -4 & 8 & 1 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} -2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$
(4)	$\left( \begin{array} -5 & -3 & 3 \\ -7 & -3 & 5 \\ -13 & -7 & 9 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -\frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

【行列の階数を求めるには】

　行列 $A=\left( \begin{array} 1 & 1 & -3\\ -1 & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array} \right)$ の階数を求めるには

○Xmaxima, wxmaximaとも
　行列Aの定義式を入力します．
A : matrix([1,1,-3],[-1,0,5],[0,3,6]);
　Aの階数を求めます．
rank(A);
次の結果が得られます．
2

≪補足説明：行列の階数とは≫
　行列の階数とは，１次独立な行ベクトルの個数（または，１次独立な列ベクトルの個数）の最大値です．
　正方行列でなくても階数は定義されます．
◇たとえばこの問題では（３行）=３×（１行）+３×（２行）だから，（３行目）は他の２行の１次結合で表せます．したがって，１次独立な行は２つです．
◇また，（３列）=２×（２列）-５×（１列）だから，（３列目）は他の２列の１次結合で表されます．
　どちらで調べても，１次独立なベクトルの最大数は２個です．このとき行列の階数は２であるといいます．

≪類似問題とその結果≫

行列	$\left( \begin{array} -1 & 2 & -2 \\ 3 & 4 & -5 \end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & 3 \\ 4 & 8 & -12\\ 0 & 0 & 0\end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 1 & -1 & 4 & -5 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 & 3 \end{array} \right)$
階数	2	1	3
行列	$\left( \begin{array} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 5\end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 2 & 3 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & -3 & -1\\ -2 & -4 & 9 & 5\end{array} \right)$	$\left( \begin{array} 1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \end{array} \right)$
階数	3	3	2

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