体積，表面積

== 立体の体積 ==

（面積の復習）
　a≦x≦bの区間でx軸とy=f(x)とで囲まれる図形の面積が，縦の長さf(x)の積分で表された事情を振り返ってみます．
　aからxまでに描かれる図形の面積をS(x)とおくと
　xがわずかに⊿xだけ増加したとき，増える面積は黄色で示した長方形の面積，すなわち縦の長さf(x)と横の長さ⊿xの積にほぼ等しくなります．
⊿S(x)≒f(x)⊿x
したがって
$\frac{\Delta S}{\Delta x}$ ≒f(x)
　増分⊿xを限りなく０に近づけると，その極限は近似値ではなく正確f(x)に等しいと見なせます．
$\frac{dS}{dx}=f(x)$
　元のものが直接には分からなくても，その微分が分かれば，積分によって面積S(x)が求まります．
$S(x)=\int f(x)dx$
　a≦x≦bの区間では
$S=\underset{\small a}{\int^b}f(x)dx$

面積を求めたいとき
⇒ 面積の微分 $S\apos(x)$ が縦の長さ $f(x)$ になるので $S$ は縦の長さの積分で求められる

（体積の計算）
　立体の体積を求めるには，体積の微分が断面積になることを利用します．
　すなわち，左端aから座標xまでの区間にある体積をxの関数としてV(x)で表し，xにおける断面積をS(x)とおきます．
　上で復習した面積の求め方と同様にして
⊿V(x)≒S(x)⊿x
$\frac{\Delta V}{\Delta x}$ ≒S(x)
$\frac{dV}{dx}=S(x)$
$V=\underset{^{\small a}}{\int^b}S(x)dx$
が示されます．

体積を求めたいとき
⇒ 体積の微分 $V\apos(x)$ が断面積 $S(x)$ になるので $V$ は断面積の積分で求められる

【体積を求める積分計算】

多項式形の積分で数学Ⅱの範囲で求められる体積の問題は，別のページにあります．

(1) 一般の立体の体積
x軸に垂直な平面で立体を切ったときの断面積が $S(x)$ のとき，この立体の体積Vは
$V=\underset{^{\small a}}{\int^b}S(x)dx$

⇒【例題1.1】【例題1.2】

(2) 曲線 $y=f(x)$ ，２直線 $x=a,\hspace{3}x=b\hspace{3}(a\lt b)$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積
$V=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx$

$x$ 軸に垂直な断面は円になり，その半径が $f(x)$ であるから断面積は $S(x)=\pi\{f(x)\}^2$ になる．
$f(x)$ は負の値も取り得るから正確には $\mid f(x)\mid$ というべきだが，2乗するので結果は同じになる．また，図のように $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸を横切っていても構わない．

⇒【例題2.1】【例題2.2】

(3) ２曲線 $y=f(x),\hspace{3}y=g(x)$ ，２直線 $x=a,\hspace{3}x=b\hspace{3}(a\lt b)$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積（ただし， $a\underline{\le}x\underline{\le}b$ において， $f(x)\underline{\ge}g(x)\underline{\ge}0$ とする）
$V=\pi\int_a^b\left[\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right]dx$

ちくわのような中抜きの筒の体積を求めるには，外側の円の面積 $\pi\{f(x)\}^2$ から内側の円の面積 $\pi\{g(x)\}^2$ を引いたものが断面積だと考えるとよい．
間違っても， $\pi\{f(x)-g(x)\}^2$ などとしてはいけない！

⇒【例題3.1】【例題3.2】

(4) 曲線 $x=g(y)$ ，２直線 $y=\alpha,\hspace{3}y=\beta\hspace{3}(\alpha\lt\beta)$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積
$V=\pi\int_{\alpha}^{\beta}\{g(y)\}^2dy$

(2)のｘ軸とｙ軸の立場を入れ換えたものになるから，ｙ軸に垂直な断面の半径は $x=g(y)$ になる

⇒【例題4.1】【例題4.2】

(5) 媒介変数表示 $x=f(t),\hspace{2}y=g(t)$ で表される曲線で， $a=f(\alpha),\hspace{3}b=f(\beta)$ のとき， $a\underline{\le}x\underline{\le}b$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積
$V=\pi\int_a^by^2dx=\pi\int_{\alpha}^{\beta}\{g(t)\}^2f\apos(t)dt$

$\frac{dx}{dt}=f\apos(t)$ により， $dx=f\apos(t)dt$ を代入する

⇒【例題5.1】【例題5.2】

【例題1.1】
　右図のような半径が $a$ ，高さが $h$ の直円柱を，斜めの平面で切ってできる「きゅうりのへた」のような立体（下半分）の体積を求めてください．

円柱の体積 $\pi a^2h$ の半分だから，結果は $\frac{1}{2}\pi a^2h$ だろうと予想できるが，これを積分計算として組み立てる練習です

（解答）
底面の円の直径方向に座標軸 $x$ をとり， $-a\underline{\le}x\underline{\le}a$ の範囲で断面を求めて積分する．
　底面の円に描いた黄色の直角三角形で，斜辺の長さは半径 $a$ に等しいから， $l=\sqrt{a^2-x^2}$
　次に高さ $y$ は， $x=0$ のとき $y=\frac{h}{2}$ で傾きが $\frac{h}{2a}$ の直線上にあるから， $y=\frac{h}{2a}x+\frac{h}{2}$
$S(x)=2l\times(\frac{h}{2a}x+\frac{h}{2})=2(\frac{h}{2a}x+\frac{h}{2})\sqrt{a^2-x^2}$
$V=2\int_{-a}^a(\frac{h}{2a}x+\frac{h}{2})\sqrt{a^2-x^2}dx$
$=\frac{h}{a}\int_{-a}^a(x+ a)\sqrt{a^2-x^2}dx$
ここで
$\int_{-a}^ax\sqrt{a^2-x^2}dx$
は奇関数の積分だから0
$\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx$
は上半円の面積だから $\frac{\pi a^2}{2}$
ゆえに
$V=\frac{\pi a^2h}{2}$

【例題1.2】
　1辺の長さが $a$ の正四面体の体積を求めてください．

三平方の定理を使って，正四面体の高さを求め，底面積との比例計算で断面を求めます．

（解答）
底面の正三角形において頂点CからBDに引いた垂線の足をEとすると，直角三角形BCEの辺の長さは， $BC=a,\hspace{3}BE=\frac{a}{2}$ であるから，三平方の定理により， $EC=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
　次に，頂点Aから底面の△BCDに引いた垂線の足をHとおくと，Hは△BCDの重心だから，EH:HC=1:2
$HC=\frac{2}{3}EC=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
　さらに，△AHCは直角三角形だから三平方の定理により， $AH=h=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}a$

　右図のピンク色の図で， $S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
　 $S:S(x)$ の面積比は相似比の２乗に比例するから
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2:S(x)=h^2:x^2=\frac{2}{3}a^2:x^2$
$S(x)=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot\frac{3}{2a^2}\cdot x^2=\frac{3\sqrt{3}}{8}x^2$
$V=\int_0^h\frac{3\sqrt{3}}{8}x^2dx=\Big[\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{x^3}{3}\Big]_0^h=\frac{\sqrt{3}}{8}h^3$
$=\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}a^3=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

【例題2.1】
　曲線 $y=\sin x\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}\pi)$ と $x$ 軸とで囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）
$V=\pi\int_0^{\pi}\sin^2xdx=\pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}dx$

↑半角公式： $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を使う

$=\pi\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}$

【例題2.2】
　曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ と座標軸とで囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）

$\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$
$y=(1-\sqrt{x})^2$
$y^2=(1-\sqrt{x})^4$
$V=\pi\int_0^{1}y^2dx$
$=\pi\int_0^{1}(1-\sqrt{x})^4dx$

$(x+ a)^nx$ のように多項式の展開を要するとき， $x+ a=t$ とおくと，展開しなくて済む

$x$	$0\rightarrow 1$
$t$	$1\rightarrow 0$

$1-\sqrt{x}=t$ とおくと， $\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}$
$V=\pi\int_1^{0}t^4(-2\sqrt{x})dt=\pi\int_1^{0}t^4(-2)(1-t)dt$
$=2\pi\int_0^{1}t^4(1-t)dt=2\pi\int_0^1(t^4-t^5)dt$
$=2\pi\left[\frac{t^5}{5}-\frac{t^6}{6}\right]_0^1dt=2\pi\times\frac{1}{30}=\frac{\pi}{15}$

【例題3.1】
　 $0\lt a\lt b$ とするとき，円 $x^2+ (y-b)^2=a^2$ が $x$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）
$(y-b)^2=a^2-x^2$
$y-b=\pm\sqrt{a^2-x^2}$
と変形したとき，右図の青色で示した回転体で外側に来る曲線の方程式は
$y_1=b+\sqrt{a^2-x^2}$
　赤色で示した内側に来る曲線の方程式は
$y_2=b-\sqrt{a^2-x^2}$
$V=\pi\int_{-a}^a(y_1^2-y_2^2)dx$
$=\pi\int_{-a}^a\{(b+\sqrt{a^2-x^2})^2-(b-\sqrt{a^2-x^2})^2\}dx$
$=\pi\int_{-a}^a 4b\sqrt{a^2-x^2}dx=8\pi b\int_{0}^a\sqrt{a^2-x^2}dx$
$x=a\sin\theta$ とおく置換積分を行うと，

$x$	$0\rightarrow a$
$\theta$	$0\rightarrow\frac{\pi}{2}$

$\frac{dx}{d\theta}=a\cos\theta$
$V=8\pi b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}\cdot a\cos\theta d\theta$
$=8\pi b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2\theta d\theta=8\pi a^2b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta$
$=8\pi a^2b\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=8\pi a^2b\times\frac{\pi}{4}=2\pi^2a^2b$

一般に回転体の体積は，(断面積)×(重心の通過距離)に等しいことが知られている（パップス・ギュルダンの定理）
この問題では，断面積 $S=\pi a^2$ ，重心の通過距離 $L=2\pi b$ で， $V=SL$ となっている．

【例題3.2】
　曲線 $y=\log x$ ， $x$ 軸， $y$ 軸， $y=1$ の直線で囲まれる図形が $x$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）
半径が1で，横向きの高さがeの円柱から， $y=\log x\hspace{5}(1\underline{\le}x\underline{\le}e)$ でできる図形を中抜きします．
$V_1=\pi\cdot e$
$V_2=\pi\int_1^e(\log x)^2dx$
次の部分積分を行う

$f(x)=(\log x)^2$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=\frac{2\log x}{x}$
$g(x)=x$	$\leftarrow$	$g\apos(x)=1$

$\int_1^ef(x)g\apos(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_1^e-\int_1^ef\apos(x)g(x)$
$V_2=\pi\left[x(\log x)^2\right]_1^e-\pi\int_1^e\frac{2\log x}{x}\cdot xdx$
$=\pi e-2\pi\int_1^e\log xdx$
$=\pi e-2\pi\left[x\log x-x\right]_1^e=\pi e-2\pi$
$V_1-V_2=2\pi$

【例題4.1】
　曲線 $y=(x-1)^2$ と直線 $y=1$ とで囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）
$x-1=\pm\sqrt{y}$
$x=1\pm\sqrt{y}$
$V=\pi\int_0^1\{(1+\sqrt{y})^2-(1-\sqrt{y})^2\}dy$
$=\pi\int_0^1 4\sqrt{y}dy=4\pi\times\frac{2}{3}\left[y^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\frac{8\pi}{3}$

例題3.1で紹介したパップス・ギュルダンの定理で確かめておくと，図形の面積が
$S=\int_0^2\{1-(x-1)^2\}dx=\frac{4}{3}$
重心（x=1上にある）の移動距離は $L=2\pi$ だから $V=SL=\frac{8\pi}{3}$ に等しい

【例題4.2】
　曲線 $y=\sin x$ ，直線 $y=1$ ， $y$ 軸とで囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

（解答）
$V=\pi\int_0^1x^2dy$

直接計算すると，逆三角関数 $\sin^{-1}x$ の2乗の積分になるが，それは手ごわいので，置換積分で変数を取り換える

$y$	$0\rightarrow 1$
$x$	$0\rightarrow\frac{\pi}{2}$

$y=\sin x$ のとき， $\frac{dy}{dx}=\cos x$
$V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos xdx$
次の部分積分を行う

$f(x)=x^2$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=2x$
$g(x)=\sin x$	$\leftarrow$	$g\apos(x)=\cos x$

$V=\pi\{\big[x^2\sin x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx\}$
$=\pi\{\frac{\pi^2}{4}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx\}$
$=\frac{\pi^3}{4}-2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx$
さらに次の部分積分を行う

$f(x)=x$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=1$
$g(x)=-\cos x$	$\leftarrow$	$g\apos(x)=\sin x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=\big[-x\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx$
$=\big[\sin x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$
従って
$V=\frac{\pi^3}{4}-2\pi$

【例題5.1】
　サイクロイド $x=t-\sin t,\hspace{3}y=1-\cos t$
（ $0\underline{\le}t\underline{\le}2\pi$ ）が $x$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

難しい公式を覚えない．単純に
$V=\pi\int_a^by^2dx$ と書いてから，変数を $t$ に置換積分する．

（解答）
$V=\pi\int_0^{2\pi}y^2dx$
において，次のように対応している．

$x$	$0\rightarrow 2\pi$
$t$	$0\rightarrow 2\pi$

$y=1-\cos t$
$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$
$V=\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2(1-\cos t)dt$
$=\pi\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3dt$
$=\pi\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+ 3\cos^2t-\cos^3t)dt$

根性物語になってきた～
半角公式で次数を下げる
$\cos 2t=\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t-1$
⇒ $\cos^2t=\frac{1+\cos 2t}{2}$
3倍角公式で次数を下げる
$\cos 3t=4\cos^3t-3\cos t$
⇒ $\cos^3t=\frac{3\cos t+\cos 3t}{4}$

$=\pi\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+ 3\cdot\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{3\cos t+\cos 3t}{4})dt$
$=\pi\big[t-3\sin t+ 3\cdot(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}-(\frac{3\sin t}{4}+\frac{\sin 3t}{12})\big]_0^{2\pi}$
$=5\pi^2$

【例題5.2】
　アステロイド $x=\cos^3t,\hspace{3}y=\sin^3t$ によって囲まれる図形が $x$ 軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めてください．

難しい公式を覚えない．単純に
$V=\pi\int_a^by^2dx$ と書いてから，変数を $t$ に置換積分する．

　ｘ軸，ｙ軸に関して対称な図形だから，第1象限の部分を回転して２倍する．
$V=2\times\pi\int_0^1y^2dx$

$x$	$0\rightarrow 1$
$t$	$\frac{\pi}{2}\rightarrow 0$

$y=\sin^3t$
$\frac{dx}{dt}=3\cos^2t\cdot\(-\sin t)$
$V=2\times\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^6t\cdot3\cos^2t\cdot\(-\sin t)dt$
$=6\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7t\cdot\cos^2tdt$

積分計算を作るところまでは，簡単にできますが，ここから先がスラスラと書けるような人は，相当な計算力があるはずです．
幾つか方法はありますが，以下では定積分の漸化式を利用する方法で求めてみます．

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7t\cdot\cos^2tdt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7t(1-\sin^2t)dt$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7tdt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^9tdt$
ここで， $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^ntdt,\hspace{5}I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin tdt=1$ とおき， $I_n$ の漸化式を作って，順次次数を下げていく．
次の部分積分を行う．(n≧2)

$f(t)=\sin^{n-1}t$	$\rightarrow$	$f\apos(t)=(n-1)\sin^{n-2}t\cos t$
$g(t)=-\cos t$	$\leftarrow$	$g\apos(t)=\sin t$

$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}t\cdot\sin tdt$
$=\Big[-\sin^{n-1}t\cdot\cos t\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}t\cos^2tdt$
$=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}t(1-\sin^2t)dt$
$=(n-1)\{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}tdt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}tdt\}$
$=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$
$nI_n=(n-1)I_{n-2}$
$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$
これにより，順次次数を下げると
$I_7=\frac{6}{7}I_{5}=\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}I_{3}=\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}I_{1}=\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{35}$
$I_9=\frac{8}{9}I_{7}=\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{128}{315}$
結局
$V=6\pi(I_7-I_9)=6\pi(\frac{16}{35}-\frac{128}{315})=\frac{32\pi}{105}$

== 回転体の表面積 ==

最近の高校の教科書では，回転体の表面積の問題はほとんど扱われていません．

　曲線 $y=f(x)\hspace{5}(a\underline{\le}x\underline{\le}b)$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積（両端 $x=a,\hspace{2}b$ の断面を含まない側面積）は
$S=2\pi\int_a^by\sqrt{1+(y\apos)^2}dx$

（解説）
　求める側面積は，正確には右図のアースカラーで示した円錐台の微小な幅の側面積を継ぎ足したものであるが，
$\Delta x$ が微小な幅であるとき，上の公式は次のことを表している．

　まず，横幅 $\Delta x$ に対して，直角三角形の縦幅は $y\apos\Delta x$ になるから，三平方の定理により斜辺の長さは
$\sqrt{\Delta x^2+(y\apos\Delta x)^2}=\sqrt{1+(y\apos)^2}\Delta x$
　そこで，幅 $\sqrt{1+(y\apos)^2}\Delta x$ のテープが半径 $y$ の円周 $2\pi y$ の長さだけあることになり
$\Delta S=2\pi y\sqrt{1+(y\apos)^2}\Delta x$

円錐台であるから，実際には円柱の側面よりは狭い部分と広い部分があるが，積分に使うのは1次近似で，中央で見れば差し引き帳消しになると解釈できる

$S=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+(y\apos)^2}dx$

【例題6.1】
　半径 $r$ の球の表面積は $4\pi r^2$ に等しいことを示してください．

（解答）
　原点を中心とする半径 $r$ の円を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積を求める．左右対称だから右半分を求めて2倍する．
　円の方程式は $x^2+ y^2=r^2$ だから
　 $y=\sqrt{r^2-x^2}$
　 $y\apos=\frac{1}{2}\frac{-2x}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$
　 $\sqrt{1+ y\apos^2}=\sqrt{1+ \frac{x^2}{r^2-x^2}}=\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}$
$S=2\times 2\pi\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx$
$=4\pi\int_0^rrdx=4\pi\big[rx\big]_0^r=4\pi r^2$

【例題6.2】
　放物線 $y=x^2\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}1)$ を $y$ 軸のまわりに１回転してできる回転体の放物面の面積を求めてください．

（解答）
　 $y$ 軸のまわりの回転だから，公式の $x,\hspace{2}y$ の立場を入れ換える．
$S=2\pi\int_0^1x\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
ここで
$x=\sqrt{y}$
$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$
$\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4y}}=\frac{\sqrt{4y+ 1}}{2\sqrt{y}}$
だから
$S=2\pi\int_0^1\sqrt{y}\frac{\sqrt{4y+ 1}}{2\sqrt{y}}dy=\pi\int_0^1\sqrt{4y+ 1}dy$
$=\pi\big[\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}(4y+ 1)^{\frac{3}{2}}\big]_0^1=\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$

○===高卒～大学数学基礎メニューに戻る

...メニューに戻る