■ 極大値,極小値(極値)
◇解説◇
【たとえ話でスタート】 ○極大,極小と最大,最小の違い 定義域の中で一番高いのが最大 ・・・ たとえば富士山 近所で一番高いのが極大 ・・・ たとえば比叡山 (富士山は極大かつ最大) ○山の頂上が極大(その値が極大値) ○最大値はあっても1つだが極大値は複数あり得る. (極小についても同様.)
【極値】
f(x) が連続関数のとき,増加から減少に変わるところを極大という.減少から増加に変わるところを極小という. また,そのときのf(x)の値を各々極大値,極小値という. 【極値の調べ方】 (1) f’(x) = 0となるところと絶対値記号などが原因で折れているところを候補に上げる. (2) 各々の候補について,増加,減少が「変化」していれば極値と判断する. ※ 理論上は |
※ f’(x) = 0 となる点は極値の有力な候補ですが,f’(x) = 0 だからといって極値だとは限りません. 次の図でy = x2 は x = 0 において減少から増加に変化するので,極小ですが,y = x3 は x = 0において増加から増加になるので,極値ではありません. 次の図で y = |x| は x = 0 において微分係数が定義されず f’(x) = 0ではありませんが,減少から増加に変化しているので,極小です. ※ 要するに,増加,減少が「変化」しているかどうかで判断します.「崖に道路があるとき」や「折れているところ」は要注意ということです. |
■問題 次の関数の増減・極値を調べてグラフの概形を描いてください.
(1)
解答を見る増減表は,右から書くのがコツ
表から,極大値:なし, |
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(2)
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※この問題は数学Ⅱで出題されることがあります.
ア) x<−1, x ≧1のとき,y=x2−1,y’=2x
※x=−1, 1のときのように,折り目(角)があるときは微分係数は定義されないので,y’=0ではなくて,y’は存在しない.しかし,この場合のように,関数が「連続」であって,かつ,その点で「増減が変化」していれば「極値」となる. |
(3)
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x=1のとき極大値 |
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(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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(8)
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(9)
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