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■　逆・裏・対偶

【 このページの要約 】

・ある命題　「p →　q」 ( p ならば q ) が真（正しい）のとき，その対偶 は真（正しい）であるが，逆や裏は必ずしも真（正しい）とは限らない．
・ある命題　「p →　q」 ( p ならば q ) とその対偶とは真偽が一致するので，対偶の真偽を示せば元の命題の真偽が示せる．
・逆の裏は対偶，裏の逆も対偶，逆の対偶は裏・・・などが成り立つ．
・ 命題 p → q には，集合の包含関係 P⊂Q が対応する．
　これを集合の要素で表わせば，「どんな x についても，x∈ P → x∈ Q 」になる．
・ P⊂Q　⇔ ⊂ だから，p → q ⇔ → が成り立つ．
■　p，q が命題（真偽が定まるもの）であるときの命題
　「p →　q」 ( p ならば q )　の考え方
（参考）現行の高校数学Ａの教科書では，「命題の真理表」や「 p , q が命題であるときの p → q の真偽」については，扱われていない．

○　命題　「p →　q」 ( p ならば q )　の真偽
　命題 p，q の真偽に応じて命題 p→q の真偽を次のように定める（定義）．
p q p　→　q
真 真 真
真 偽 偽
偽 真 真
偽 偽 真

真偽を各々1,0の値で表わすときは，p→q の真理値を次のように定めることになる．
p q p　→　q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
※　命題「 p ならば q 」が成り立たないのは，「 p であってかつ q でないとき」だけである．すなわち，「 p ならば q 」⇔「 p かつ 」以外

p の否定の真偽の定義
p
1 0
0 1
p かつ q の真偽の定義（※参考→）
p q p かつ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

以上を用いて， の真理表は次の表のように左から
右へ順に構成していくことができる．

p q p かつ
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
この表が p→q の真理表と一致する．		 例１　
勉強がすんだらスイカ
親が子に「 p （勉強がすんだ）ならば q （スイカをあげる）」と約束した場合，実際に起こる事柄と子どもの（真偽についての）思いは次のように対応している．
p（勉強） q（スイカ） 子ども
1. 勉強がすむ スイカがもらえる 納得
2. 勉強がすむ スイカがもらえない 怒り
3. 勉強がすまない スイカがもらえる 納得
4. 勉強がすまない スイカがもらえない 納得

3. の「勉強がすんでいないのにスイカがもらえた」場合，約束に反していないので子どもは怒らない．･･･客人が来ていっしょにごちそうになってしまったり，時間が経ってしまって食べないと痛んでしまうような場合など，想定外の事態をいろいろと考えてみることができる．
3.4.を並べてみると，p ならば q という命題に対して，仮定 p が成り立たないときは結論 q は何でもよいことが分かる．
例２
入院したら保険金
病気やケガで入院したときにかかる費用を払ってもらえる保険がある．これを，簡単な命題にすると
p（入院した）ならばq（保険金を支払う）となる．
p（入院） q（保険金） 契約者
1. 入院した 支払いあり 納得
2. 入院した 支払いなし 怒り
3. 入院していない 支払いあり 納得
4. 入院していない 支払いなし 納得
契約者が怒るのは，入院しているのに保険金の支払いがないときだけで，他の場合には約束違反にならない．

3.は，満期が来て払戻金があったときなどか．
（※参考）
なお，p または q の真偽は次の表で定義される.
p q p または q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

○　逆

　元の命題「 p ならば q 」（ p → q ）に対して，仮定と結論をつけ替えたもの：「 q ならば p 」（ q → p ）を元の命題の逆という．
元の命題が真であっても，その逆は必ずしも真とは限らない．
 逆が真でない例
元の命題：「金は光る」
逆の命題：「光るものは金である」
（ガラスのかけらやアルミ箔でも光るから，逆の命題は真でない．）

○　裏

　元の命題「 p ならば q 」（ p → q ）に対して，仮定と結論を否定に替えたもの：　 → 　を，元の命題の裏という．
元の命題が真であっても，その裏は必ずしも真とは限らない．
 裏が真でない例
元の命題：「雪は白い」
裏の命題：「雪でないなら白くない」
（カモメ，雲，白壁なども白いから，裏は真でない．）

○　対偶

　元の命題「 p ならば q 」（ p → q ）に対して，仮定と結論をつけかえ，さらに，各々を否定にしたもの：「 → 」を元の命題の対偶という．
元の命題が真ならばその対偶も真になる．
例
「雪→白い」の対偶は「白くない→雪でない」　
例
元の命題が偽ならばその対偶も偽になる．
「光る→金」の対偶は「金でない→光らない」
 元の命題とその対偶の真理値が一致することの証明
p q p→q →
1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
（この表の黄色の部分と桃色の部分の真理値が，つねに一致する．）
◇補足：真理表を用いた証明の例◇
１．　（　p かつ q ）→ p が成り立つことの証明
p q p かつ q ( p かつ q ) → p
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
　すべての場合に対して（　p かつ q ）→ p の真理値が1になるから，（　p かつ q ）→ p はつねに成り立つ．		 ２．（かつの否定に関する）ド・モルガンの法則
　 ⇔ または の証明
p q p かつ q または
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1

　すべての場合に対して の真理値と または の
真理値が一致するから，これらは同値（互いに必要十分）．
問1
　次の真理表を埋めて，（またはの否定に関する）ド・モルガンの法則 ⇔ かつ を証明せよ．

ただし，真を1で偽を0で表わすものとする．[ Check ] [ Reset ]
p q p または q かつ
1 1 1 0 0
1 0 1 0 1
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
問2
　次の真理表を埋めて，命題 （ p → q ）または（ q → p ）がつねに成り立つことを証明せよ．
ただし，真を1で偽を0で表わすものとする．[ Check ] [ Reset ]
p q （ p → q ） （ q → p ） （ p → q ）または（ q → p ）
1 1
1 0
0 1
0 0
※備考：これが成立するからと言って，次に述べる P⊂Q と Q⊂P のどちらかが成り立つというわけではない．P∩Q が空集合のときでもこの命題は真となる．
■　p，q が条件であるときの命題　「p →　q」 ( p ならば q )　の考え方

○　条件とは

　　x>0 のようにそれだけでは真偽が定まらず，変数 x の値を具体的に定めれば真偽が定まる命題となるものを変数 x に関する条件という．
　変数を含んでいるのでこれらを p(x) , q(x) などで表わすとき， p(x) , q(x) それ自体は条件であって真偽は定まらない．（同様にして， , , p(x) かつ q(x) , p(x) または q(x) なども条件となり，これらも真偽は定まらない．）

○　p(x) , q(x) が条件のときでも，「すべての x について p(x) が成立する」という主張は命題になる．

　「すべての x について，ある条件 p(x) が成立する．」という主張や，「ある x について，ある条件 p(x) が成立する．」という主張は真偽の定まる命題となる．

　一般に，条件 p(x) に対して，「すべての x について　〜 」「ある x について 〜 」などを付け足したものは命題となる．（右の例３，例４）







○　p(x) → q(x) は，「すべての x について（ p(x) → q(x) ) 」の省略形なので，命題になる．
　「すべての x について，（ p(x) → q(x) ）」という形のものは命題で，真偽の定まるものとなる．
【重要】
　「すべての x について，（ p(x) → q(x) ）」は，単に
p(x) → q(x) と略されるので，p(x) → q(x) は命題となる．
例えば，「 x>3 → x>1 」は，「すべての x について，（x>3 → x>1 ）」の省略である．

※この項目を初めて学ぶときは，（x>3 が成立するようなすべての x について x>1 が成立する ）と考えたくなるが，実は x>3 が成立しようがしまいが関係なく，「すべての x について」成立するので，この位置に書いて，
x ( x>3 → x>1 ）
の形でよい．
（→右参照） x の値に応じて真偽を調べてみると例１で述べたように，仮定が偽であれば結論は何でもよい．条件としての考え方は以下に述べる．）		 例１
x>0 を条件 p(x) で表わすとき，
x=2 のときは p(x) は真，x= - 1 のときは p(x) は偽となる．
例２
x>0 を条件 p(x) で，x<3 を条件 q(x) で表わすとき，「 p(x) かつ q(x) 」も条件となり，それ自体では真偽は定まらないが，
x=2 のときは 「 p(x) かつ q(x) 」は真，x=4 のときは 「 p(x) かつ q(x) 」は偽となる．


例３
x>0 は条件であってそのままでは真偽は定まらないが，
「すべての x について x>0 が成立する」
⇔ すべての x について x>0
⇔ All x ( x>0 ）
⇔ x ( x>0 ）
という主張は，本当にすべての x について x>0 が成立すれば真となり，１つでも成立しない x が存在すれば偽となるので命題である．（上の命題は， x= - 2 などのとき成立しないから偽の命題である．）
例４
x2 - 2x - 3<0 は条件であってそのままでは真偽は定まらないが，
「ある x について x2 - 2x - 3<0 が成立する」
⇔ ある x が存在して x2 - 2x - 3<0 が成り立つ
⇔ Exist x ( x2 - 2x - 3<0 ）
⇔ x ( x2 - 2x - 3<0 ）
という主張は，本当に１つでも x2 - 2x - 3<0 が成立するような x の値が存在すれば真で，どんな x を持ってきても x2 - 2x - 3<0 が成り立たなければ，これは偽となるから命題である．（ x=0 のとき x2 - 2x - 3<0 となるから，これは真の命題となる． ）
x ( x>3 → x>1 ）の真偽
x>3 x>1 　 x>3 → x>1
p(x) の真理値 q(x) の真理値 x の例 p(x) → q(x) の真理値
1 1 x=4 1
1 0 このような x の値はない 0
0 1 x=2 1
0 0 x=0 1
上の表から分かるように，「 p(x) の真理値が1で，q(x) の真理値が0 」となるような x の値は存在しないので，「すべての x の値について」，p(x) → q(x) が成り立っている．

○　条件は集合に対応している

　条件 p(x) は，この条件を満たす x の値の集合 P で表わすことができる．
　 		例５
条件 x>3 を満たす x の値は，次のような集合になる．
例６
条件 (x - 1)2+y2<1 を満たす ( x , y ) の値は，次のような集合になる．（境界線を含まない）
○　命題 p(x) → q(x) は ２つの集合の包含関係が P⊂Q となるという主張に対応している
　前に述べたように，命題 p(x) → q(x) は，
「どんな x についても，p(x) → q(x) 」
の省略であるが，これは集合のその要素を用いて言えば，
「どんな x についても，x∈ P → x∈ Q 」
に対応しており，集合の包含関係で言えば
P⊂Q
に対応している．
　したがって，P⊂Q の真偽によって，p(x) → q(x) を判断してよい． 		例７
　 x>3 を満たす集合を P，x>1 を満たす集合を Q で表わすとき，
命題 x>3 → x>1
は，x∈ P → x∈ Q を表わしており，２つの集合の包含関係が
P⊂Q
となるという主張に対応している．
上図のように，P⊂Q が成り立つから，x>3 → x>1 が成り立つといってよい．（x>3 → x>1 だから，P⊂Q といってもよい．）
○　P⊂Q⇔⊂ だから p(x) → q(x) ⇔ →
　右図のように
P⊂Q が成り立つとき，⊂ が成り立ち，
⊂ が成り立つとき， P⊂Q が成り立つ
から，
p → q が成り立てば → が成り立ち，
→ が成り立てば p → qが成り立つ．

　これにより，ある命題 p → q とその対偶 → の真偽は一致するといえる．
例
「犬(p) ならば 動物(q)である」は真である．これは，上の図において,犬の集合(P)が動物の集合(Q)の部分集合になっていることに対応している．
このとき，「動物でない()ならば犬でない( )」は真である．これは，上の図において動物以外の集合()が犬以外の集合()の部分集合であることに対応している．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆裏対偶について／16.12.25］
この命題などに関する問題があればよかったと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．簡単な問題は問１，問２にあります．もっともよく使う対偶証明と背理法の問題はその次の頁にあります．
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※小話：「しかられないと勉強しない」

○　ある命題 p →　q とその対偶 → の真偽は一致し，一方が成り立てば他方も成り立つ．これは，論理的に示されており疑う余地はない．
　ある家に勉強の嫌いな子どもがいて，「しかられないと勉強しない」とする．これは　１．「しかられない→勉強しない」とまとめることができる．
　ある命題とその対偶の真偽は一致するはずだから，この命題の対偶を考えると「勉強する→しかられる」となる．
　「勉強するとしかられ」のでは常識に反する．なにが間違っているのか？
○　日常用語では，「〜ならば・・・」や「〜すれば・・・」という言い方には，時間的前後関係が付着しており，原因→結果を連想させることがある．この命題が正しいときでも，その対偶をとる（対偶を考えることを「対偶をとる」という）と時間的前後関係が反対になる．
例
２．　ある病気の特効薬があるとする．「この薬を飲まないと治らない」
　　対偶は，「治れば飲む」となり，おかしく感じる．治っていれば飲む必要はない．
３．　有名なラーメン店があって，その味は絶品だとする．その味は「食べてみないと分からない」
　　対偶は，「分かれば食べる」となり，おかしく感じる．
○　もともと数学・論理における命題 p(x) → q(x) は，集合の要素の関係 x∈ P → x∈ Q ，あるいは集合の包含関係 P⊂Q を表わしており，時間の前後とは関係ない．したがって，時間の経過に沿って並ぶときも，時間の経過の逆に並ぶときもある．
上の１．では，
　x∈ P （勉強した人の集合に含まれる）子どもは， x∈ Q （しかられた人の集合に含まれる）
を表わしており，「ある子どもが勉強していれば，（その前に）しかられている」はずだとなり，何もおかしくない．

上の２．では，
　x∈ P （病気が治った人の集合に含まれる）人は， x∈ Q （薬を飲んだ人の集合に含まれる）
を表わしており，「ある人の病気が治っていれば，（その前に）薬を飲んでいる」はずだとなり，それが特効薬であることに違いはない．

上の３．では，
　x∈ P （うまさが分かった人の集合に含まれる）人は， x∈ Q （食べた人の集合に含まれる）
を表わしており，「そのうまさが分かる人は，（その前に）食べた人だ」となり，何もおかしくない．

!!ここから下は，教材ではなく，．筆者の単なる感想です !!　眉につばの準備を !!
※小話：日常用語では，数学的正確さよりも聞く人の気持ちを考えるべし？？

○　元の命題が正しいときに，確実に言えるのは対偶だけであって，逆や裏は必ずしも正しくない．しかし，日常生活では，正確さを主眼として発言しているとトラブルになることがある．
　おそらく，日常生活では白黒（真偽）をはっきりさせることよりは，聞いている人の気持ちがメインとなるので，論理的な正確さは２の次になるのではないか．
（裏は主張していないつもりだが）
○　２人の兄弟がいて，学期末に通知票をもらってきたとする．もし，兄の成績が非常に伸びていたとしても，　「お兄ちゃんはよく頑張った（ｐ→ｑ）」と言えば，論理的には正しい（弟のことは何も言っていない）が，日常生活では「弟は頑張らなかった（ → ）」という意味に取られるので要注意である．
　これは，かなりありうる話だと考えられる．というのは，もし弟もよく頑張ったと考えているのなら，そのとき言っているはずだというのは合理的だから．

○　あるコンビニの入り口に，「当店では，未成年者には煙草は売りません（ → ）」と書かれていれば，その裏「当店では，成人には煙草を売ります（ｐ→ｑ）」と積極的にアピールしていることになる．
煙草の販売をしていない店ならば，この張り紙をする必要はなく，煙草を販売しているからこの張り紙に意味があるのは明らか．

○　鳥インフルエンザ関連で，風評被害をあおるとして行政当局から指導を受ける不適当表現であるが，「当店では，○○県産の卵は販売していません（ p → ）」と書かれていれば，その裏「当店では，○○県産でない卵を販売しています（ → q）」と積極的にアピールすることで消費者の疑惑に答え，当店の売り上げを守ろうとしたものである．

（裏は主張していないつもりだが）
○　「オバマ氏（ｐ）はアメリカで最も優秀な黒人指導者の一人である（ｑ）」という意味の発言が問題視されたことがある．キング牧師などの功績を軽視するものである（ → ）ということらしい．（2007年頃の記事だったと思うが，元の記事が見つからないので，単なる記憶）さすがアメリカは論理的だ．
　論理的には，ｐ以外に数億の人がいて，その内の数人の話を「しなかった」ということが問題であるように聞こえるが，話し言葉の不正確さを問題にしている形を取りながら，この問題に関するアメリカ人としての共通認識を問うているように聞こえる．
　日本で起こりうる身近な例として，「来賓のうち１人を紹介し忘れた」ような場合がこれに近い．

（否定しなければ肯定したことにされる）
○ 　政治担当の記者や芸能人担当の記者の場合，独特の飛躍で話が作られていくように思う．
「熱愛報道について否定しなかった．（何も言わなかった）→熱愛報道を認めた．」
　これが，刑事事件がらみならば，とても許されない論理の飛躍となる．黙秘権はどうなっているのか．

（日本語の言葉の使われ方）
　「よくできるお子さんで･･･」→ 素直に聞けばほめられているのであるが，「他にほめる材料が思いつかなかった」というのは勘ぐりすぎでなく事実である．
　「元気なお子さんで･･･」→「ちゃんとしつけができていないから，乱暴で困る」という意味に使われることがあるらしい．
○　言われていないことに意味がある．数学では主張されていること（命題）の真偽を扱っているが，言われていないことを重視する文化とは前提が違うかもしれない．
　書道では，書かれた線と同様に空白の部分に意味があるという話，竜安寺の石庭で岩の置かれていない空白に意味があるという説など，日本文化の特徴として，話されていないこと，書かれていないものが重視されることがあるようなので，一応頭の隅に置いておくと分かることがあるかもしれない．

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