ベクトルの大きさとは……
〇 ベクトルは大きさと向きをもつ量です。これに対してベクトルの大きさ(長さ)は単なる1つの数です。
〇 ベクトル の大きさ(長さ)は,絶対値記号を用いて で表します。 〇 ベクトル の成分が のとき,図のように三平方の定理を用いて計算すると, 〇 ベクトルの大きさは,ベクトルの始点から終点までの2点間の距離と同じです.
【例1】
(解答)ベクトル の大きさを求めてください. 右図のように横の長さが4,縦の長さが3の直角三角形の斜辺の長さになるから …(答)
【例2】
(解答)ベクトル の大きさを求めてください. 右図のように横の長さが2,縦の長さが2(y座標が-2のとき長さとしては2)の直角三角形になる. 公式を使って計算するときは,負の値でも2乗すると正になるから,気にせずそのまま計算したらよい. …(答) 〇 2点 を結ぶベクトル の成分は, だから になります. これは2点間の距離 と同じです.
※ベクトルに絶対値も付けたら
,何も着てない裸の王様 と同じ
【例3】
(解答)2点 を結ぶベクトル の大きさを求めてください. だから …(答) |
単位ベクトルとは……
〇 例えば,大きさが3のベクトルを3で割ると,大きさが1のベクトルになります(向きは変わりません)。大きさが5のベクトルを5で割ると大きさ1のベクトルになります(向きは変わりません)。 〇 一般に,ベクトル をその大きさ で割ったもの は, と同じ向きで大きさ1のベクトルになります。 大きさ1のベクトルを単位ベクトルといいます。 ※注意 高校には,ベクトルの割り算というものはありません。
は,ベクトルで割っているのでなく,記号 は単なる数字なので,数字で割ることを表しています。数字で割ることは「ベクトルの実数倍」(大きさだけ変えて向きを変えない)で定義されています。
※向きをいろいろと考えると,大きさ1のベクトル:単位ベクトルは無数にあります。
※これに対して,x軸,y軸の正の向きの単位ベクトルは特に基本ベクトルと呼ばれます。基本ベクトルは,1つずつしかありません。 |
【例4】
(解答)ベクトル と同じ向きの単位ベクトルを求めてください. だから …(答) (参考) ベクトル と「方向」が同じでも「向き」が逆のベクトルは, になります. 同一直線上にあれば「方向」が同じになりますが,あちら向きとこちら向きの違いがあります.このように「向き」が同じという指定は,「方向」が同じというよりも強い指定になります. |
[要約]
〇 のとき, 〇 2点 を結ぶベクトル については, 〇 と同じ向きの単位ベクトルは, |
それぞれの問題に対応する答を下の選択肢から選びなさい。 選択肢のうちの1つをクリックすれば,採点結果と解説が出ます.解答しなければ,解説は出ません.途中の計算は,計算用紙などで行ってください.
【問題1】
(1) のとき, を求めよ.
(2)
のとき, を求めよ.
|
【問題2】
のとき, を求めます.(1) のとき, を求めよ.
(2)
のとき, を求めよ.
のとき, を求めます. |
(3)
のとき, を求めよ.
に対して,
(4)
のとき, を求めよ.
に対して, |
【問題3】
を計算し,次に各成分をその数字で割ります.(1) と同じ向きの単位ベクトルを求めよ.
(2)
と逆向きの単位ベクトルを求めよ.
を計算し,次に各成分をその数字で割り,さらに符号を変えます. |
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