k = 1+2+3+4+5　（ = 15 になる）

k = 1+2+3+4+5+6+7　（ = 28 になる）

k = 2+3+4　（ = 9 になる）

k = 1+2+3+4　（ = 10 になる）


m = 1+2+3+4　（ = 10 になる）

5i=5･1+5･2+5･3+5･4(=5+10+15+20=50になる)

(この i は虚数とは関係ない．単なる内部変数として使っている．)

n = n+n+n+n　( = 4n になる)

5 = 5+5+5+5　( = 20 になる)

ak = a1+a2+a3+a4+a5

2k = 21+22+23+24 = 2+4+8+16 ( = 30 になる)

N+1 = ( 1+2+3+4+5 )+1　（ = 16 になる）

( N+1 ) = ( 2+3+4+5+6)　（ = 20 になる）

k( k+1)=1･2+2･3+3･4+4･5+5･6

=(2+6+12+20+30=70になる)

( k+1 )2 = ( 1+1 )2+( 2+1 )2+…+( n+1 )2

（∵） 有限個の和は，並べ変えて足しても等しいから

　 ( ak+ bk ) = ( a1+ b1 )+( a2+ b2 )+…+( an+ bn )

=( a1+a2+…+an )+ ( b1+b2+…+bn )

= ak+ bk

（∵） 定数ｃをかっこでくくってもよいから

cak= ca1+ca2+…+can =c( a1+a2+…+an )=c ak

（たとえば）
1×4+2×5+3×6=4+10+18=32は
(1+2+3)×(4+5+6)=6×15=90と等しくないのと同様に
a1b1 +a2b2 +a3b3 は
(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )と等しくない

（たとえば）
\( \displaystyle \frac{3}{1}+\frac{4}{2}=3+2=5 \)は
\( \displaystyle \frac{3 + 4}{1+ 2}=\frac{7}{3} \)と等しくないのと同様に
\( \displaystyle \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2} \)は
\( \displaystyle \frac{a_1 + a_2}{b_1+ b_2} \)と等しくない

( xk - c )2=( xk2 - 2cxk+c2 )


= xk2 - 2cxk+c2

はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．

(1)
\( 2+ 4+ 6+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 20 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=2}^{20} k \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{10} k \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{10} 2k \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{20} 2k \)

2, 4, 6, ...の並びを見て，一般項を2kとおく
次に，初項を2にするためにはk=1とする
末項を20にするためにはk=10とする
（k=1からk=10までで全部で10項）
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10} 2k \)…（答）

(2)
\( 3+ 5+ 7+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 11 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{11}k \) \( \displaystyle \sum_{k=3}^{11} k \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{5}(2k-1) \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{5}(2k+1) \)

3, 5, 7, ...の並びを見て，一般項を2k+1とおく
次に，初項を3にするためには2k+1=3よりk=1とする
末項を11にするためには2k+1=11よりk=5とする
（k=1からk=5までで全部で5項）
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{5}(2k+1) \)…（答）
※一般項を2k−1とおくときは
初項を3にするためには2k−1=3よりk=2とする
末項を11にするためには2k−1=11よりk=6とする
（k=2からk=6までで全部で5項）
\( \displaystyle \sum_{k=2}^{6}(2k-1) \)
ただし，これは選択肢にはないので選べない．

(3)
\( 1^2+ 4^2+ 7^2+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 19^2 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{19}k^2 \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{6} k^2 \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{6}(3k+1)^2 \) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{6}(3k+1)^2 \)

12, 42, 72, ...の並びを見て，一般項を(3k+1)2とおく
次に，初項を12にするためには3k+1=1よりk=0とする
末項を192にするためには3k+1=19よりk=6とする
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{6}(3k+1)^2 \)…（答）
※一般項を3k−2とおくときは
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{7}(3k-2)^2 \)
ただし，これは選択肢にはないので選べない．

(4)
\( 1\times 2+ 2\times 3+ 3\times 4+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 8\times 9 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{8}(k+1) \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{9} k \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{8}k(k+1) \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{9}k(k+1) \)

1×2,2×3 ...の並びを見て，一般項をk(k+1)とおく
次に，初項を1×2にするためにはk=1とする
末項を8×9にするためにはk=8とする
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{8}k(k+1) \)…（答）

(1)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{k+ 1} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} 2^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} 2^{k-1} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k-1} \)

項を並べて書くと，元の式は
\( 2^2+ 2^3+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+2^{n+ 1} \)
選択肢は順に
\( 2^2+ 2^3+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+2^{n}\leftarrow\times \)
\( 2^2+ 2^3+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+2^{n+ 1}\leftarrow\circ \)…（答）
\( 2^1+ 2^2+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+2^{n-1}\leftarrow\times \)
\( 2^1+ 2^2+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+2^{n}\leftarrow\times \)

(2)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^{2k+1} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=3}^{n} 3^{2k-1} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} 3^{2k-1} \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1} 3^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=3}^{2n-1} 3^{k} \)

項を並べて書くと，元の式は
\( 3^3+ 3^5+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3^{2n-1} \)
選択肢は順に
\( 3^5+ 3^7+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3^{2n-1}\leftarrow\times \)
\( 3^3+ 3^5+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3^{2n-1}\leftarrow\circ \)…（答）
\( 3^1+ 3^2+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3^{2n-1}\leftarrow\times \)
\( 3^3+ 3^4+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3^{2n-1}\leftarrow\times \)

(3)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3\times 2^{k-1} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} 3\times 2^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} 3\times 2^{k+1} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} 6^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} 6^{k} \)

項を並べて書くと，元の式は
\( 3+ 3\times 2+ 3\times 2^2+\hspace{3px}\cdots+\hspace{3px}3\times 2^{n-2} \)
選択肢は順に
\( 3+ 3\times 2+ 3\times 2^2+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+3\times 2^{n-2}\leftarrow\circ \)…(答)
\( 3\times 2+ 3\times 2^2+ 3\times 2^3+\hspace{3}\cdots\hspace{3}+3\times 2^{n-1}\leftarrow\times \)
\( 6^2+ 6^3+ 6^4+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 6^n\leftarrow\times \)
\( 6^2+ 6^3+ 6^4+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 6^n\leftarrow\times \)
※なお，この種の問題で\( 6^k \)と混同する答案が多く見られますが，全然関係ないので注意

(4)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 3\times 2^{k+ 1} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} 3\times 2^{k} \) \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} 3\times 2^{k-1} \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 6^{k+1} \) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} 6^{k} \)

項を並べて書くと，元の式は
\( 3\times 2^2+ 3\times 2^3+ 3\times 2^4+\hspace{3px}\cdots+\hspace{3px}3\times 2^{n+ 1} \)
選択肢は順に
\( 3\times 2^2\!+\! 3\!\times\! 2^3\!+\! 3\!\times \!2^4\!+\hspace{3px}\cdots+\hspace{3px}3\times 2^{n+ 1}\leftarrow\circ \)…(答)
\( 3\times 2+ 3\times 2^2+ 3\times 2^3+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 3\times 2^{n}\leftarrow\times \)
\( 6^2+ 6^3+ 6^4+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 6^{n+ 1}\leftarrow\times \)
\( 6+ 6^2+ 6^3+\hspace{3px}\cdots\hspace{3px}+ 6^{n+ 1}\leftarrow\times \)

問題１の終わりの値が全て4なのに、答えが一つだけ三つの数になっています またその影響で、問題１の上から1番目の答えと4番目の問題の答えが同じはずなのに違う判定になっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは初めの値を見ていないようです．頁の先頭にある例3をよく見てください． 次に，一般項の違いですが

＜Σに慣れよう１＞の問３の、＜一番下の問題=Σ（j＋１）の２乗＞ですが、答えの４の２乗は必要ないのでは？ もし必要だとすればそれはなぜでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
要するに，3+1が4になるからです．あなたの理解は，まだ十分ではないかも･･･

例12のkが3の時の計算が抜けてる気がします 間違ってたらゴメンナサイ…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．