対数の定義

*** 対数の定義 *** ■解説

［要点］
対数の定義

○　y=a^x　であるとき，ｘをｙで表わしたいとき，これまでに習った関数(整関数，分数関数，無理関数，指数関数，三角関数など)で表せないので，新しく log_ax という関数を考えます。
例　2^ｘ＝3　のとき　ｘ＝ｌｏｇ₂3

読み方：log_ax →　ログ，エー,エックス
日本語名：log_ax →　ａを底とするｘの対数
語源：logarithm (対数)の先頭3文字

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※　対数関数に慣れるまでは違和感がありますが，ある対数が何を表わしているかは，指数の形に直してみれば分かります。

例１　2=log₁₀100　とは 10²=100 ということです。
例2　3=log₂8 とは 2³=8 ということです。

※　10²=100 を対数の形にするには：

2=･･･に直すために対数を考えているのだから，
指数2を外に出します（中のものは外へ）
代わりに100を中に入れます（外のものは中へ）
指数関数の底は，対数関数の底です。
10²=100　→　2=log₁₀100

※　対数の形を指数の形に直すときも

中は外，外は中，底は底でできます。
2=log₁₀100　→ 10²=100

例1　次の各式を対数の形で表わしなさい。

問題	答
3²=9	2=log₃9
10^-1=0.1	log₁₀0.1=-1
125=5³	log₅125=3

※指数関数や対数関数が左辺にあっても，右辺にあっても変形できるように、「中←→外，底←→底」と考えます。

例2　次の各式を指数の形で表わしなさい。

問題	答
log₂32=5	2⁵=32
log₁₀0.001=-3	10^-3=0.001
log₃1=0	3⁰=1

※　どちらを左辺に書いてもかまいません。

【問題】・・・対応するものを選ぶ問題

○　次の各式を対数の形で表わしてください。
○まず左から問題を１つクリックし，続けて右から解答を１つクリックしてください。合っていれば消えます。間違えば消えません。
○間違った場合は，右欄を連打することなく，問題を選び直してください．
○間違った場合，HELPを見ることができますが，その場合でも，新たに問題を選べば，解答を再開できます．

HELP

$2^3=8\rightarrow\log_28=3$

$8^{\frac{1}{3}}=2\rightarrow\log_82=\frac{1}{3}$

$2^{-3}=\frac{1}{8}\rightarrow\log_2\frac{1}{8}=-3$

$3^2=9\rightarrow\log_39=2$

$3^{-2}=\frac{1}{9}\rightarrow\log_3\frac{1}{9}=-2$

$9^{\frac{1}{2}}=3\rightarrow\log_93=\frac{1}{2}$

○　次の各式を指数の形で表わしてください．
○まず左から問題を１つクリックし，続けて右から解答を１つクリックしてください。合っていれば消えます。間違えば消えません。
○間違った場合は，右欄を連打することなく，問題を選び直してください．
○間違った場合，HELPを見ることができますが，その場合でも，新たに問題を選べば，解答を再開できます．

HELP

$b=\log_ac\rightarrow a^b=c$

$\log_ab=-c\rightarrow a^{-c}=b$

$a=\log_b\frac{1}{c}\rightarrow b^a=\frac{1}{c}$

$\log_ca=-b\rightarrow c^{-b}=a$

$\frac{1}{a}=\log_cb\rightarrow c^{\frac{1}{a}}=b$

$\log_{\frac{1}{b}}a=c\rightarrow \Bigl(\frac{1}{b} \Bigr)^{c}=a$

［要点の復習］
対数の定義

※これは「福は内，鬼は外」のように主語に対してその居場所を述べているのではない．
　どちらかと言えば「黒は白，白は黒」「上は下，下は上」のように相矛盾することを述べるのに近いが，「中にあるものは外へ，外にあるものは中へ」と，時間的前後関係によって居場所を逆にするということを管理人なりに表現したものです．

　上記の要約を使って，次のように指数の部分や真数の部分が未知数になっている方程式を解くことができます．

底指数=値， log底真数=値

【例題１】次の方程式を満たすxの値を求めてください．
$\log_2 x=3$

（解答）
$\log_2 x=3$
を対数の定義にしたがって変形すると
$x=2^3=8$ …(答)

※すぐ後で習うように，この形の方程式は「対数方程式」と呼ばれ，通常は，真数条件（真数となる式は正でなければならない）を満たすことを確かめる必要があります．
　しかし， $\log_a x=b$ という単純な形の方程式では， $\log_a x=b\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=a^b$ なので， $a\gt 0$ である限り， $x\gt 0$ となり，真数条件はつねに満たされます．だから，この問題については真数条件の検討を省略してもかまいません．

【例題２】次の方程式を満たすxの値を求めてください．
$2^x=3$

（解答）
$2^x=3$
を対数の定義にしたがって変形すると
$x=\log_2 3$ …(答)

※答えが合っていることは分からんでもないが，半分納得しない人がいるかもしれない．
(1)　 $2^{\log_2 3}=3$
ということか？　⇒　その通り．ただし，これが分かるには，もっと先の「指数が対数のもの」という項目まで順に読んでもらわなければならない．
(2)　 $\log_2 3$ とは，どれくらいの数字なのか？（小数で） ⇒ $\log_2 3=1.5849625\cdots$ で，無限小数になります．
中学校の時に， $\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ を1.41と答えてはだめで，その無限小数は $\sqrt{2}$ という新しい記号で答えなければならなかったように，指数の形を対数の形に直す問題では， $\log_2 3$ の形で答える問題もあるのです．

【問題１】　次の方程式を満たすxの値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\log_3 x=2$

解説やり直す

$x=\log_2 3$ $x=\log_3 2$ $x=8$ $x=9$

$x=3^2=9$ …（答）

→閉じる←

(2)
$\log_2 (x-1)=3$

解説やり直す

x=7 x=8 x=9 x=10

$x-1=2^3=8$
x=9 …（答）

→閉じる←

(3)
$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)=3$

解説やり直す

$x=\frac{3}{2}$ $x=\frac{2}{3}$ $x=\frac{9}{8}$ $x=\frac{8}{9}$

$x-1=\big(\frac{1}{2}\big)^3=\frac{1}{8}$
$x=\frac{9}{8}$ …（答）

→閉じる←

(4)
$\log_{\sqrt{3}} (x+ 2)=4$

解説やり直す

x=7 x=8 x=9 x=10

$x+ 2=(\sqrt{3})^4=9$
x=7 …（答）

→閉じる←

【問題２】　次の方程式を満たすxの値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$3^x=2$

解説やり直す

$x=\log_2 3$ $x=\log_3 2$ x=8 x=9

$x=\log_3 2$ …（答）

→閉じる←

(2)
$2^{3x}=5$

解説やり直す

$x=3\log_2 5$ $x=(\log_2 5)^3$

$x=\frac{1}{3}\log_2 5$ $x=\big(\log_2 5\big)^{\frac{1}{3}}$

$3x=\log_2 5$
ここから先の変形は，中学校の１次方程式と同じ
$x=\frac{1}{3}\log_2 5$ …（答）

→閉じる←

(3)
$3^{\frac{x}{2}}=5$

解説やり直す

$x=2\log_3 5$ $x=\frac{1}{2}\log_3 5$

$x=2\log_5 3$ $x=\frac{1}{2}\log_5 3$

$\frac{x}{2}=\log_3 5$
$x=2\log_3 5$ …（答）

→閉じる←

(4)
$5^{-x}=2$

解説やり直す

$x=\frac{1}{\log_2 5}$ $x=-\log_2 5$

$x=\frac{1}{\log_5 2}$ $x=-\log_5 2$

$-x=\log_5 2$
$x=-\log_5 2$ …（答）

→閉じる←

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／18.7.02］

わかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.3.2］

これはよいです。　約３０年振りにdBの計算で対数を学ぶことになり、このサイトを発見しました。基本の覚え方と実例、それに練習問題。そして記号を使った問題では選択する作業がひっかけを誘発する感もあり、時間制限があったら、あせって間違うかもしれませんでした。　脳がいい汗かきました。　ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．対数は高校の教育課程につねに入っていましたので，私の方も忘れることはありませんでしたが，ものによっては複素数平面のように教育課程から出たり入ったりの上に，開講講座数が少なくて，めったに担当させてもらえないものもあり，元教員でも忘れていることがあります．30年ぶりならまだまだ最近の話で，こちらは50数年ぶりですが気楽にやっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.2.21］

とても分かりやすかったです。あと、何故、この対数を使うのか、対数を使うと、どういうメリットがあるのか、説明して頂けると、興味がわくと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．歴史的には，ケプラーなどの天文学者が惑星の運動を研究するときに，膨大な数の掛け算や割り算を行う必要があって，そのせいで寿命が縮んだと言われており，より計算量が少なくて済む足し算や引き算に書き換える方法がどうして欲しかったと言われている．
だから，歴史的には $\log_{10}MN=\log_{10}M+ \log_{10}N$ ， $\log_{10}\frac{M}{N}=\log_{10}M-\log_{10}N$ のように分ける計算がありがたかった．
しかし，今日では膨大な桁数の掛け算や割り算でもコンピュータを使えば一瞬にできるので，そのありがたさは分からない．ここから先は，各自がどんな作業を主にやっているかによって変わる．ア）微積をよく使う人にとっては，分数関数の積分を表すために対数関数は絶対必要になります． $\int\frac{1}{x}dx=\log_e x+ C$
イ）指数関数的に変化する現象を扱う場合には，元の変数の対数をとると，より扱いやすい１次関数にできる． $y=e^{ax+ b}\rightarrow \log_e y=ax+ b$
ただ，こうした興味ある話題に触れるには，それなりに対数関数に慣れて足腰を鍛えておかないと，余計混乱するかもしれず，どこまで踏み込むとよいのか迷うところがあって，今のところ書いていません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の定義について／17.1.16］

対数が少しわかった。嬉しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．