逆三角関数

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

1. 逆三角関数 $\sin^{-1} x$ の定義

•　 $y=\sin x$ のグラフは次の図のようになり，異なるｘの値に同じｙの値が対応する．

•　例えば， $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\hspace{5}\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2},\hspace{5}\cdots$ だから
$y=\frac{1}{2}$ となるｘの値は多数ある．
•　一般に，ｘの範囲を限定せずに $y=\sin x$ の逆関数 $x=\sin^{-1} y$ を定義すると，１つのｙの値に対して多数の（無限個の）ｘの値が対応する「多価関数（無限多価関数）」になる．
•　そこで， $y=\sin x$ の逆関数の値がただ１通りに定まるように，通常，主値(principal value)と呼ばれる $-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ の区間に制限して，逆三角関数を考える．すなわち， $y=\sin x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$
$\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\sin^{-1} y\hspace{5}(-1\underline{\le}y\underline{\le}1,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2})$

この区間は単調増加関数で，ｘとｙが1対1に対応するから，逆向きの対応がただ1通りに定まる．

　独立変数をｘで表し，従属変数をｙで表す習慣に従って，文字を入れ換えて書くと
$y=\sin^{-1} x\hspace{5}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\underline{\le}y\underline{\le}\frac{\pi}{2})$
•　なお，このように逆三角関数を定義するにあたって，主値 $-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ の区間に制限していることを示すために， $\rm{Sin}^{-1}x$ のように先頭を大文字で表すこともある．その他， $\arcsin x$ という記号もよく使われる．
　以下においては，特に断りがなくても，逆三角関数 $\sin^{-1}x,\hspace{5}\rm{Sin}^{-1}x,\hspace{5}\arcsin x$ は主値を表すものとする．

主値は，逆三角関数の値域 $\overset{\rightarrow}{\leftarrow}$ 元の三角関数の定義域
$-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\sin^{-1}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$

定義

三角関数
$y=\sin x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$
の逆関数は，逆三角関数
$y=\sin^{-1} x\hspace{5}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\underline{\le}y\underline{\le}\frac{\pi}{2})$

なお， $^{-1}$ という記号は，「逆の」という意味を表す専用の記号として使用しており，負の指数の $\sin^{-1} x=\frac{1}{\sin x}$ という意味ではないことに注意． $\sin^{-2} x$ や $\sin^{-\frac{1}{2}} x$ なども定義していない

　ある逆三角関数が表している内容は，三角関数に直してみると分かる．

$\sin x=y\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin^{-1}y=x$
$(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$

例

$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\rm{Sin}^{-1}\hspace{2}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$
$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin^{-1}\hspace{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$
$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$

　なお， $\sin^{-1}\frac{1}{3}$ のような値は筆算では求められない．これは， $\sin x=\frac{1}{3}$ を満たすｘの値が筆算では求められないという事情と同じである．
　（逆）三角関数表またはコンピュータを使えば，小数の近似値で求められる．Excelでは ACOS(　)という関数を使う．［arccosの略］

2. 逆三角関数 $\cos^{-1} x$ の定義

•　 $y=\cos x$ のグラフは次の図のようになり，異なるｘの値に同じｙの値が対応する．

•　例えば， $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\hspace{5}\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2},\hspace{5}\cdots$ だから
$y=\frac{1}{2}$ となるｘの値は多数ある．
•　一般に，ｘの範囲を限定せずに $y=\cos x$ の逆関数 $x=\cos^{-1} y$ を定義すると，１つのｙの値に対して多数の（無限個の）ｘの値が対応する「多価関数（無限多価関数）」になる．
•　そこで， $y=\cos x$ の逆関数の値がただ１通りに定まるように，通常，主値と呼ばれる $0\underline{\le}x\underline{\le}\pi$ の区間に制限して，逆三角関数を考える．すなわち， $y=\cos x\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}\pi,\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$
$\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\cos^{-1} y\hspace{5}(-1\underline{\le}y\underline{\le}1,\hspace{5}0\underline{\le}x\underline{\le}\pi)$

この区間は単調減少関数で，ｘとｙが1対1に対応するから，逆向きの対応がただ1通りに定まる．

　独立変数をｘで表し，従属変数をｙで表す習慣に従って，文字を入れ換えて書くと
$y=\cos^{-1} x\hspace{5}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1,\hspace{5}0\underline{\le}y\underline{\le}\pi)$
•　なお，このように逆三角関数を定義するにあたって，主値 $0\underline{\le}x\underline{\le}\pi$ の区間に制限していることを示すために， $\rm{Cos}^{-1}x$ のように先頭を大文字で表すこともある．その他， $\arccos x$ という記号もよく使われる．
　以下においては，特に断りがなくても，逆三角関数 $\cos^{-1}x,\hspace{5}\rm{Cos}^{-1}x,\hspace{5}\arccos x$ は主値を表すものとする．

主値は，逆三角関数の値域 $\overset{\rightarrow}{\leftarrow}$ 元の三角関数の定義域
$0\underline{\le}\cos^{-1}x\underline{\le}\pi$

定義

三角関数
$y=\cos x\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}\pi,\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$
の逆関数は，逆三角関数
$y=\cos^{-1} x\hspace{5}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1,\hspace{5}0\underline{\le}y\underline{\le}\pi)$

　ある逆三角関数が表している内容は，三角関数に直してみると分かる．

$\cos x=y\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos^{-1}y=x$
$(0\underline{\le}x\underline{\le}\pi,\hspace{5}-1\underline{\le}y\underline{\le}1)$

例

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\rm{Cos}^{-1}\hspace{2}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$
$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos^{-1}\hspace{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$
$\arcsin\hspace{1}0=\frac{\pi}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos \frac{\pi}{2}=0$

3. 逆三角関数 $\tan^{-1} x$ の定義

•　 $y=\tan x$ のグラフは次の図のようになり，異なるｘの値に同じｙの値が対応する．

•　例えば， $\tan\frac{\pi}{4}=1,\hspace{5}\tan\frac{5\pi}{4}=1,\hspace{5}\cdots$ だから
$y=1$ となるｘの値は多数ある．
•　一般に，ｘの範囲を限定せずに $y=\tan x$ の逆関数 $x=\tan^{-1} y$ を定義すると，１つのｙの値に対して多数の（無限個の）ｘの値が対応する「多価関数（無限多価関数）」になる．
•　そこで， $y=\tan x$ の逆関数の値がただ１通りに定まるように，通常，主値と呼ばれる $-\frac{\pi}{2}\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ の区間に制限して，逆三角関数を考える．すなわち， $y=\tan x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt \frac{\pi}{2},\hspace{5}-\infty\lt y\lt \infty)$
$\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\tan^{-1} y\hspace{5}(-\infty\lt y\lt \infty,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\lt x\lt \frac{\pi}{2})$

この区間は単調増加関数で，ｘとｙが1対1に対応するから，逆向きの対応がただ1通りに定まる．

　独立変数をｘで表し，従属変数をｙで表す習慣に従って，文字を入れ換えて書くと
$y=\tan^{-1} x\hspace{5}(-\infty\lt x\lt \infty,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\lt y\lt \frac{\pi}{2})$
•　なお，このように逆三角関数を定義するにあたって，主値 $-\frac{\pi}{2}\lt y\lt \frac{\pi}{2}$ の区間に制限していることを示すために， $\rm{Tos}^{-1}x$ のように先頭を大文字で表すこともある．その他， $\arctan x$ という記号もよく使われる．
　以下においては，特に断りがなくても，逆三角関数 $y=\tan^{-1}x,\hspace{5}y=\rm{Tan}^{-1}x,\hspace{5}y=\arctan x$ は主値 $-\frac{\pi}{2}\lt y\lt \frac{\pi}{2}$ を表すものとする．

主値は，逆三角関数の値域 $\overset{\rightarrow}{\leftarrow}$ 元の三角関数の定義域
$-\frac{\pi}{2}\lt\tan^{-1}x\lt\frac{\pi}{2}$

定義

三角関数
$y=\tan x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt \frac{\pi}{2},\hspace{5}-\infty\lt y\lt \infty)$
の逆関数は，逆三角関数
$y=\tan^{-1} x\hspace{5}(-\infty\lt x\lt \infty,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\lt y\lt \frac{\pi}{2})$

　ある逆三角関数が表している内容は，三角関数に直してみると分かる．

$\tan x=y\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\tan^{-1}y=x$
$(-\infty\lt x\lt \infty,\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\lt y\lt \frac{\pi}{2})$

例

$\tan\frac{\pi}{4}=1\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\rm{Tan}^{-1}\hspace{2}1=\frac{\pi}{4}$
$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}$
$\arctan\hspace{1}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\tan(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$

（参考）

三角関数
$y=\cot x\hspace{5}(0\lt x\lt\pi,\hspace{5}-\infty\lt y\lt \infty)$
の逆関数は，逆三角関数
$y=\cot^{-1} x\hspace{5}(-\infty\lt x\lt \infty,\hspace{5}0\lt x\lt\pi)$

4. 逆三角関数の性質

　以下，逆三角関数の値は主値とする．
4.1（逆関数との合成は恒等関数）

$\sin(\sin^{-1}x)=x,\hspace{10}\sin^{-1}(\sin x)=x$
$\cos(\cos^{-1}x)=x,\hspace{10}\cos^{-1}(\cos x)=x$
$\tan(\tan^{-1}x)=x,\hspace{10}\tan^{-1}(\tan x)=x$

解説

逆三角関数の定義から導かれる．
$x=\sin y$ とおくと， $y=\sin^{-1}x$ だから
$\sin(\sin^{-1}x)=\sin y=x$
$y=\sin x$ とおくと， $x=\sin^{-1}y$ だから
$\sin^{-1}(\sin x)=\sin^{-1}y=x$
他の式も同様にして示される

4.2（偶関数，奇関数の関係）

$\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$ 　…奇関数
$\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$ 　…奇関数
$\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

解説

$\sin^{-1}x=y$ とおくと
$\sin y=x$
$-\sin y=-x$
$\sin y$ は奇関数だから
$\sin(-y)=-\sin y=-x$
したがって
$\sin^{-1}(-x)=-y=-\sin^{-1}x$

右図のように $y=\sin^{-1}x$ のグラフは原点に関して対称だから，奇関数になる．

$\tan^{-1}(-x)$
$=-\tan^{-1}x$ も同様にして示せる．
右図のように $y=\tan^{-1}x$ のグラフは原点に関して対称だから，奇関数になる．

※なお， $y=\cos^{-1}x$ のグラフは原点対称でもなく，ｙ軸対称でもないから，偶関数でも奇関数でもない．
$\cos\alpha=x$ のとき
$\alpha=\cos^{-1}x$
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$
$=-x$
$\pi-\alpha=\cos^{-1}(-x)$
だから
$\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

例題

(1) $\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{3}$ の値を求めてください．

（解答）
$\tan\alpha=\frac{1}{2},\hspace{3}\tan\beta=\frac{1}{3}$ のとき
$\alpha=\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{3}\beta=\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{3}$ の和を求める．
三角関数の加法定理により
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=1$
だから
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$
したがって
$\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\hspace{2}\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$

(2) $\cos^{-1}\hspace{2}(-x)=3\hspace{2}\cos^{-1}\hspace{2}x$ となる $x$ の値を求めてください．

（解答）
$\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$ を代入すると
$\pi-\cos^{-1}x=3\hspace{2}\cos^{-1}\hspace{2}x$
$4\hspace{2}\cos^{-1}\hspace{2}x=\pi$
$\cos^{-1}\hspace{2}x=\frac{\pi}{4}$
$x=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.3（余角の関係）

$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

解説

≪ $x\gt 0$ のとき≫
　右図のような直角三角形を考えると
$\sin\alpha=x,\hspace{3}\cos\beta=x$
$\alpha=\sin^{-1}x,\hspace{3}\beta=\cos^{-1}x$
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
だから
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$ が成り立つ

　右図のような直角三角形を考えると
$\tan\alpha=x,\hspace{3}\cot\beta=x$
$\alpha=\tan^{-1}x,\hspace{3}\beta=\cot^{-1}x$
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
だから
$\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}$ が成り立つ

≪ $x\lt 0$ のとき≫も含めて，一般には次のように数式変形で示せる
$\sin\alpha=x,\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\alpha\underline{\le}\frac{\pi}{2})$
$\cos\beta=x,\hspace{5}(0\underline{\le}\beta\underline{\le}\pi)$ のとき
$\cos\beta=\sin(\frac{\pi}{2}-\beta)$ だから
$\sin\alpha=\sin(\frac{\pi}{2}-\beta)$
$-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\alpha\underline{\le}\frac{\pi}{2},\hspace{5}-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\frac{\pi}{2}-\beta\underline{\le}\frac{\pi}{2}$
単調増加な区間であるから，関数が等しければ変数も等しい
$\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta$
したがって
$\sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}-+\cos^{-1}x$
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

$y=\cot^{-1}x\hspace{5}(-\infty\lt x\lt\infty,\hspace{2}0\lt y\lt\pi)$ は
$y=\cot x\hspace{5}(0\lt x\lt\pi,\hspace{2}-\infty\lt y\lt\infty)$ の逆関数である．
$\tan\alpha=x\hspace{5}(-\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2},\hspace{2}-\infty\lt x\lt\infty)$
$\cot\beta=x\hspace{5}(0\lt \beta\lt\pi,\hspace{2}-\infty\lt x\lt\infty)$ のとき
$\cot\beta=\tan(\frac{\pi}{2}-\beta)$ だから
$\tan\alpha=\tan(\frac{\pi}{2}-\beta)$
$-\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2},\hspace{2}-\frac{\pi}{2}\lt \frac{\pi}{2}-\beta\lt\frac{\pi}{2}$
単調増加な区間であるから，関数が等しければ変数も等しい
$\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta$
$\tan^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\cot^{-1}x$
したがって
$\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

4.4

$\sin^{-1}x=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}1)$

解説

$0\underline{\le}x\underline{\le}1$ のとき，右図の直角三角形を考えると
$\sin\alpha=x$ だから
$\alpha=\sin^{-1}x$
$\cos\alpha=\sqrt{1-x^2}$ だから
$\alpha=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\alpha=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ だから
$\alpha=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
これらは互いに等しい

$\cos^{-1}x=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}1)$

解説

$0\underline{\le}x\underline{\le}1$ のとき，右図の直角三角形を考えると
$\cos\beta=x$ だから
$\beta=\cos^{-1}x$
$\sin\beta=\sqrt{1-x^2}$ だから
$\beta=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\beta=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ だから
$\beta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
これらは互いに等しい

$\tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}\hspace{5}(0\underline{\le}x)$

解説

$0\underline{\le}x$ のとき，右図の直角三角形を考えると
$\tan\alpha=x$ だから
$\alpha=\tan^{-1}x$
$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}$ だから
$\alpha=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}$
$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$ だから
$\alpha=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$
これらは互いに等しい

4.5

$\cos(\sin^{-1}x)=\sin(\cos^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}1)$

解説

右図の直角三角形において，
$\sin\alpha=x$ だから
$\alpha=\sin^{-1}x$
$\cos\alpha=\cos(\sin^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}$
$\cos\beta=x$ だから
$\beta=\cos^{-1}x$
$\sin\beta=\sin(\cos^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}$

$\sec(\tan^{-1}x)=\rm{cosec}(\cot^{-1}x)=\sqrt{1+ x^2}\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}1)$

解説

右図の直角三角形において，
$\tan\alpha=x$ だから
$\alpha=\tan^{-1}x$
$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\sqrt{1+ x^2}$
だから
$\sec(\tan^{-1}x)=\sqrt{1+ x^2}$
$\cot\beta=x$ だから
$\beta=\cot^{-1}x$
$\rm{cosec}\beta=\frac{1}{\sin\beta}=\sqrt{1+ x^2}$
だから
$\rm{cosec}(\cot^{-1}x)=\sqrt{1+ x^2}$

$\tan(\sec^{-1}x)=\cot(\rm{cosec}^{-1}x)=\sqrt{x^2-1}\hspace{5}(1\underline{\le}x)$

解説

右図の直角三角形において，
$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=x$ だから
$\alpha=\sec^{-1}x$
$\tan\alpha=\sqrt{x^2-1}$
$\tan(\sec^{-1}x)=\sqrt{x^2-1}$
$\rm{cosec}\hspace{2}\beta=\frac{1}{\sin\beta}=x$ だから
$\beta=\rm{cosec}^{-1}\hspace{2}x$
$\cot\beta=\sqrt{x^2-1}$
$\cot(\rm{cosec}^{-1}\hspace{2}x)=\sqrt{x^2-1}$

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